Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 7 x \sqrt{2 y + 20}$ , $y (0) = 5$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (7 x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.2

Factoriza $2$ de $2 y + 20$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y) + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $2$ de $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 2 \cdot 10}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $2$ de $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ por $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 (\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}) (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ por $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.4.2

Eleva $\sqrt{2 (y + 10)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.4.3

Eleva $\sqrt{2 (y + 10)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.4.6

Reescribe ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ como $2 (y + 10)$ .

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Paso 1.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (y + 10)}$ como ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.4.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.5

Combina $7$ y $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Paso 1.2.6

Factoriza $2$ de $2 y + 20$ .

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Paso 1.2.6.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y) + 20})$

Paso 1.2.6.2

Factoriza $2$ de $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 2 \cdot 10})$

Paso 1.2.6.3

Factoriza $2$ de $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$

Paso 1.2.7

Multiplica $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$ .

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Paso 1.2.7.1

Combina $x$ y $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.7.2

Combina $\frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)}$ y $\sqrt{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)}) \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.7.3

Eleva $\sqrt{2 (y + 10)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}))}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.7.4

Eleva $\sqrt{2 (y + 10)}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}))}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.7.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1})}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.7.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{2})}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.8.1

Reescribe ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ como $2 (y + 10)$ .

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Paso 1.2.8.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (y + 10)}$ como ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.8.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{1}}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8.1.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8.3

Multiplica $2$ por $10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 20)}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8.4

Factoriza $2$ de $2 y + 20$ .

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Paso 1.2.8.4.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y) + 20)}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8.4.2

Factoriza $2$ de $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8.4.3

Factoriza $2$ de $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 \cdot 2 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.8.5

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 14 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.9

Cancela el factor común de $14$ y $2$ .

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Paso 1.2.9.1

Factoriza $2$ de $x \cdot 14 (y + 10)$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Paso 1.2.9.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Paso 1.2.10

Cancela el factor común de $y + 10$ .

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Paso 1.2.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Paso 1.2.10.2

Divide $x \cdot 7$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 7$

Paso 1.2.11

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = 7 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = \int 7 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 2 y + 20$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 2 y + 20$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 y + 20$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 20]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y + 20$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [20]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [20]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [20]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $20$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $20$ con respecto a $y$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 7 x d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int 7 x d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Paso 2.2.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 7 x d x$

Paso 2.2.4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 7 x d x$

Paso 2.2.4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 7 x d x$

Paso 2.2.4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Paso 2.2.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 7 x d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Reescribe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Paso 2.2.6.2

Simplifica.

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Paso 2.2.6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Paso 2.2.6.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Paso 2.2.6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Paso 2.2.6.2.3

Multiplica $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y + 20$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 y + 20)}^{1} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Simplifica.

$2 y + 20 = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica ${(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina fracciones.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $\frac{7}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 y + 20 = {(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Reescribe ${(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$ como $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ .

$2 y + 20 = (\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Expande $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} (\frac{7 x^{2}}{2} + K) + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.3.1.1

Combinar.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2} (7 x^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1.3.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{7 (x^{2} x^{2}) \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2 + 2} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Paso 3.2.2.1.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$2 y + 20 = \frac{7 x^{4} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Paso 3.2.2.1.3.1.3

Multiplica $7$ por $7$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Paso 3.2.2.1.3.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Paso 3.2.2.1.3.1.5

Combina $\frac{7 x^{2}}{2}$ y $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Paso 3.2.2.1.3.1.6

Combina $K$ y $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{K (7 x^{2})}{2} + K (K)$

Paso 3.2.2.1.3.1.7

Mueve $7$ a la izquierda de $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 \cdot K x^{2}}{2} + K \cdot K$

Paso 3.2.2.1.3.1.8

Multiplica $K$ por $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Paso 3.2.2.1.3.2

Suma $\frac{7 x^{2} K}{2}$ y $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.3.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Paso 3.2.2.1.3.2.2

Suma $\frac{7 K x^{2}}{2}$ y $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Paso 3.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Paso 3.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2}$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{49 x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Paso 3.3.2.3.1.2

Combinar.

$y = \frac{49 x^{4} \cdot 1}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Paso 3.3.2.3.1.3

Multiplica $49$ por $1$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Paso 3.3.2.3.1.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Paso 3.3.2.3.1.5

Divide $- 20$ por $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} - 10$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $5$ por $y$ en $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ .

$5 = \frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$ .

$\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Paso 6.2

Simplifica $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$ .

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{49 \cdot 0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $49$ por $0$ .

$\frac{0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Paso 6.2.1.3

Divide $0$ por $8$ .

$0 + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Paso 6.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + \frac{K \cdot 0}{2} + K = 5$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $K$ por $0$ .

$0 + \frac{0}{2} + K = 5$

Paso 6.2.1.6

Divide $0$ por $2$ .

$0 + 0 + K = 5$

Paso 6.2.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + K$ .

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Paso 6.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + K = 5$

Paso 6.2.2.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 5$

Paso 7

Sustituye $5$ por $K$ en $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $5$ por $K$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{5 x^{2}}{2} + K$