Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x + 3 y}$

Paso 1

Sea $v = e^{4 x + 3 y}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{4 x + 3 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d x}$ mediante la diferenciación de $e^{4 x + 3 y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x + 3 y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x + 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3 y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x + 3 y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x + 3 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} \frac{d}{d x} [4 x + 3 y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 3 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (4 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (4 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.7

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 x + 3 y} (4 + 3 y')$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{4 x + 3 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (4 + 3 y')$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} - \frac{4}{3} = v$

Paso 5

Separa las variables.

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Paso 5.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

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Paso 5.1.1

Suma $\frac{4}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} = v + \frac{4}{3}$

Paso 5.1.2

Multiplica ambos lados por $3 v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v) = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.3.1.1

Simplifica $\frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} (3 v)$ .

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Paso 5.1.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Paso 5.1.3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.1.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 v$ .

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Paso 5.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$3 \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v} v = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Paso 5.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Paso 5.1.3.1.1.3

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.1.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Paso 5.1.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = (v + \frac{4}{3}) (3 v)$

Paso 5.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.2.1

Simplifica $(v + \frac{4}{3}) (3 v)$ .

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Paso 5.1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d x} = v (3 v) + \frac{4}{3} (3 v)$

Paso 5.1.3.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + \frac{4}{3} (3 v)$

Paso 5.1.3.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.1.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + \frac{4}{3} (3 v)$

Paso 5.1.3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} = 3 v \cdot v + 4 v$

Paso 5.1.3.2.1.4

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.2.1.4.1

Mueve $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 (v \cdot v) + 4 v$

Paso 5.1.3.2.1.4.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 v^{2} + 4 v$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{3 v^{2} + 4 v}$ .

$\frac{1}{3 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v^{2} + 4 v} (3 v^{2} + 4 v)$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $3 v^{2} + 4 v$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 v^{2} + 4 v} (3 v^{2} + 4 v)$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 v^{2} + 4 v} \frac{d v}{d x} = 1$

Paso 5.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{3 v^{2} + 4 v} d v = 1 d x$

Paso 6

Integra ambos lados.

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Paso 6.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{3 v^{2} + 4 v} d v = \int d x$

Paso 6.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 6.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $v$ de $3 v^{2} + 4 v$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Factoriza $v$ de $3 v^{2}$ .

$\frac{1}{v (3 v) + 4 v}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Factoriza $v$ de $4 v$ .

$\frac{1}{v (3 v) + v \cdot 4}$

Paso 6.2.1.1.1.3

Factoriza $v$ de $v (3 v) + v \cdot 4$ .

$\frac{1}{v (3 v + 4)}$

Paso 6.2.1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $v (3 v + 4)$ .

$\frac{1 (v (3 v + 4))}{v (3 v + 4)} = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.1.4

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (v (3 v + 4))}{v (3 v + 4)} = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (3 v + 4)}{3 v + 4} = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.1.5

Cancela el factor común de $3 v + 4$ .

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Paso 6.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (3 v + 4)}{3 v + 4} = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.6.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (v (3 v + 4))}{v} + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.1.6.1.2

Divide $A (3 v + 4)$ por $1$ .

$1 = A (3 v + 4) + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (3 v) + A \cdot 4 + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.1.6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 3 A v + A \cdot 4 + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.1.6.4

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 3 A v + 4 A + \frac{B (v (3 v + 4))}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.1.6.5

Divide $B v$ por $1$ .

$1 = 3 A v + 4 A + B v$

Paso 6.2.1.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1.1.7.1

Mueve $A$ .

$1 = 3 v A + 4 A + B v$

Paso 6.2.1.1.7.2

Reordena $B$ y $v$ .

$1 = 3 v A + 4 A + B v$

Paso 6.2.1.1.7.3

Mueve $4 A$ .

$1 = 3 v A + B v + 4 A$

Paso 6.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = 3 A + B$

Paso 6.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $v$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 4 A$

Paso 6.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = 3 A + B$

$1 = 4 A$

$0 = 3 A + B$

$1 = 4 A$

Paso 6.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 4 A$ .

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Paso 6.2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$0 = 3 A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.2.1.3.1.2.1

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

Paso 6.2.1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = 3 A + B$

Paso 6.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = 3 A + B$ por $\frac{1}{4}$ .

$0 = 3 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.2.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{4}$ .

$0 = \frac{3}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{3}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$0 = \frac{3}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = \frac{3}{4} + B$ .

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Paso 6.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3}{4} + B = 0$ .

$\frac{3}{4} + B = 0$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.3.2

Resta $\frac{3}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - \frac{3}{4} A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{3}{4}, A = \frac{1}{4}$

Paso 6.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{v} + \frac{B}{3 v + 4}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{v} + \frac{- \frac{3}{4}}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.5

Simplifica.

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Paso 6.2.1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{v} + \frac{- \frac{3}{4}}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{4 v} + \frac{- \frac{3}{4}}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4 v} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3 v + 4}$

Paso 6.2.1.5.4

Multiplica $\frac{1}{3 v + 4}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{4 v} - \frac{3}{(3 v + 4) \cdot 4}$

Paso 6.2.1.5.5

Mueve $4$ a la izquierda de $3 v + 4$ .

$\int \frac{1}{4 v} - \frac{3}{4 (3 v + 4)} d v = \int d x$

Paso 6.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{4 v} d v + \int - \frac{3}{4 (3 v + 4)} d v = \int d x$

Paso 6.2.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{3}{4 (3 v + 4)} d v = \int d x$

Paso 6.2.4

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) + \int - \frac{3}{4 (3 v + 4)} d v = \int d x$

Paso 6.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $v$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \int \frac{3}{4 (3 v + 4)} d v = \int d x$

Paso 6.2.6

Dado que $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $v$ , mueve $\frac{3}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - (\frac{3}{4} \int \frac{1}{3 v + 4} d v) = \int d x$

Paso 6.2.7

Sea $u_{2} = 3 v + 4$ . Entonces $d u_{2} = 3 d v$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = d v$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.7.1

Deja $u_{2} = 3 v + 4$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Paso 6.2.7.1.1

Diferencia $3 v + 4$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 4]$

Paso 6.2.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 v + 4$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [4]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [4]$

Paso 6.2.7.1.3

Evalúa $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

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Paso 6.2.7.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $3 v$ con respecto a $v$ es $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [4]$

Paso 6.2.7.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [4]$

Paso 6.2.7.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [4]$

Paso 6.2.7.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.2.7.1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $4$ con respecto a $v$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 6.2.7.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 6.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.8

Simplifica.

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Paso 6.2.8.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.8.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{4} \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.9

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Paso 6.2.10

Simplifica.

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Paso 6.2.10.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.10.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.10.3

Cancela el factor común de $3$ y $12$ .

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Paso 6.2.10.3.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 (1)}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.10.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.10.3.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.10.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.10.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 6.2.11

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| v |) + C_{1}) - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Paso 6.2.12

Simplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Paso 6.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = x + C_{4}$

Paso 6.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| v |) - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Paso 7

Resuelve $v$

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Paso 7.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (| v |)$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) = x + C$

Paso 7.1.1.2

Combina $\ln (| u_{2} |)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = x + C$

Paso 7.2

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = x + C$ por $4$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.2.1

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| v |)}{4} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} = x + C$ por $4$ .

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (| v |)}{4} \cdot 4 - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| v |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| u_{2} |)}{4}$ al numerador.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| v |) + \frac{- \ln (| u_{2} |)}{4} \cdot 4 = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = x \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 \cdot x + C \cdot 4$

Paso 7.2.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = 4 x + 4 C$

Paso 7.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 x + 4 C$

Paso 7.4

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{4 x + 4 C}$

Paso 7.5

Reescribe $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = 4 x + 4 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 x + 4 C} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Paso 7.6

Resuelve $v$

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Paso 7.6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 x + 4 C}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{4 x + 4 C}$

Paso 7.6.2

Multiplica ambos lados por $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.6.3.1

Cancela el factor común de $| u_{2} |$ .

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Paso 7.6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| v | = e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$

Paso 7.6.4

Resuelve $v$

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Paso 7.6.4.1

Reordena los factores en $e^{4 x + 4 C} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{4 x + 4 C}$

Paso 7.6.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{4 x + 4 C}$

Paso 8

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 8.1

Simplifica la constante de integración.

$v = \pm | u_{2} | e^{4 x + C}$

Paso 8.2

Reescribe $e^{4 x + C}$ como $e^{4 x} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{4 x} e^{C})$

Paso 8.3

Reordena $e^{4 x}$ y $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{4 x})$

Paso 8.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = C | u_{2} | e^{4 x}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{4 x + 3 y}$ .

$e^{4 x + 3 y} = C | u_{2} | e^{4 x}$

Paso 10

Resuelve $y$

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Paso 10.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{4 x + 3 y}) = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Paso 10.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Expande $\ln (e^{4 x + 3 y})$ ; para ello, mueve $4 x + 3 y$ fuera del logaritmo.

$(4 x + 3 y) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Paso 10.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(4 x + 3 y) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Paso 10.2.3

Multiplica $4 x + 3 y$ por $1$ .

$4 x + 3 y = \ln (C | u_{2} | e^{4 x})$

Paso 10.3

Expande el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Reescribe $\ln (C | u_{2} | e^{4 x})$ como $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{4 x})$ .

$4 x + 3 y = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{4 x})$

Paso 10.3.2

Reescribe $\ln (C | u_{2} |)$ como $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$4 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{4 x})$

Paso 10.3.3

Expande $\ln (e^{4 x})$ ; para ello, mueve $4 x$ fuera del logaritmo.

$4 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 4 x \ln (e)$

Paso 10.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$4 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 4 x \cdot 1$

Paso 10.3.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 x + 3 y = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + 4 x$

Paso 10.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.4.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$4 x + 3 y = \ln (C | u_{2} |) + 4 x$

Paso 10.5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.5.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = \ln (C | u_{2} |) + 4 x - 4 x$

Paso 10.5.2

Combina los términos opuestos en $\ln (C | u_{2} |) + 4 x - 4 x$ .

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Paso 10.5.2.1

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$3 y = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Paso 10.5.2.2

Suma $\ln (C | u_{2} |)$ y $0$ .

$3 y = \ln (C | u_{2} |)$

Paso 10.6

Divide cada término en $3 y = \ln (C | u_{2} |)$ por $3$ y simplifica.

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Paso 10.6.1

Divide cada término en $3 y = \ln (C | u_{2} |)$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Paso 10.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.6.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$

Paso 10.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (C | u_{2} |)}{3}$