Cálculo Ejemplos

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $e^{5 x} y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{5 x}$ y $g (x) = y$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Paso 1.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

Paso 1.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

Paso 1.7

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

Paso 1.8

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

Paso 1.9

Elimina los paréntesis.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

Paso 1.10

Reordena $y$ y $5$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Sea $u = 8 x$ . Entonces $d u = 8 d x$ , de modo que $\frac{1}{8} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1.1

Deja $u = 8 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1.1

Diferencia $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Paso 5.1.1.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Paso 5.1.1.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$8$

Paso 5.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

Paso 5.2

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{8}$ .

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

Paso 5.3

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

Paso 5.4

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

Paso 5.5.2

Combina $\frac{1}{8}$ y $\cos (u)$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

Paso 5.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

Paso 5.7

Reordena los términos.

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

Paso 6

Divide cada término en $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ por $e^{5 x}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ por $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $e^{5 x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Combina $\cos (8 x)$ y $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 6.3.1.3

Multiplica $\frac{1}{e^{5 x}}$ por $\frac{\cos (8 x)}{8}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Paso 6.3.1.4

Mueve $8$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$