Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Paso 1.2.2

Combinar.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $\sqrt{y}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $\sqrt{y}$ de $4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Paso 1.2.4

Cancela el factor común de $\cos^{2} (\sqrt{y})$ .

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Paso 1.2.4.1

Factoriza $\cos^{2} (\sqrt{y})$ de $4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Paso 1.2.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Paso 1.2.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4}$

Paso 1.2.5

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \frac{1}{4} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.1.2

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.1.3

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ a $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.1.4

Multiplica $\sqrt{y}$ por $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.1.5

Combina $\frac{1}{\sqrt{y}}$ y $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.2.3

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.2.4

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.2.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.3

Sea $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Entonces $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ , de modo que $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.3.1

Deja $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.3.1.1

Diferencia $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 2.2.3.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.2.3.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.2.3.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.2.3.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 2.2.3.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 2.2.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.2.3.1.8

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2.3.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.2.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.5

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$2 \tan (u) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{4} x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ por $2$ .

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\tan (y^{\frac{1}{2}})$ por $1$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.3

Multiplica $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.1.3.1.3.1

Multiplica $\frac{x}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Sustituye $u$ por $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (u) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Paso 3.3

Reordena $\frac{x}{8}$ y $\frac{K}{2}$ .

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{8}$

Paso 3.4

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $u$ del interior de la tangente.

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

Paso 3.5

Sustituye $y^{\frac{1}{2}}$ por $u$ y resuelve $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

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Paso 3.5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica.

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = {\arctan (K + \frac{x}{8})}^{2}$