Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{3} - x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{3} - x$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3.2.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.4.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{2} - 1$

Paso 1.5

Factoriza $y$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = x^{2} - 1$

Paso 1.6

Reordena $y$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2} - 1$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{2}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.3.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} + x^{2} \cdot - 1$

Paso 3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} - 1 \cdot x^{2}$

Paso 3.3.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4} - x^{2}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4} - x^{2}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} - x^{2} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{2} y = \int x^{4} - x^{2} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x^{2} y = \int x^{4} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - x^{2} d x$

Paso 7.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - \int x^{2} d x$

Paso 7.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 7.5

Simplifica.

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{2}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Divide $\frac{1}{5} x^{3}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{- \frac{1}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{2}$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $- \frac{1}{3} x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{x^{2} (- \frac{1}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{- \frac{1}{3} x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.3.2.4

Divide $- \frac{1}{3} x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} - \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} - \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{2}}$