Cálculo Ejemplos

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

Paso 1

Resta $8 x y^{3} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Paso 3.2

Combina $12$ y $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x^{2} y^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x^{2} y^{2}$ de $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Paso 3.5

Combina $- 8$ y $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x y^{3}$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $x y^{3}$ de $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $12$ es constante con respecto a $y$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Simplifica $12 \ln (| y |)$ al mover $12$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{12}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.1.3

Simplifica $8 \ln (| x |)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

Paso 5.2.1.1.4

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{8}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $y^{12} x^{8} = e^{C}$ .

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $y^{12} x^{8} = e^{C}$ por $x^{8}$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $y^{12} x^{8} = e^{C}$ por $x^{8}$ .

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{8}$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $y^{12}$ por $1$ .

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Paso 5.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

Paso 5.5.4

Simplifica $\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ .

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Paso 5.5.4.1

Reescribe $\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ como $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.2.1

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

Paso 5.5.4.2.2

Reescribe $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ como $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

Paso 5.5.4.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 5.5.4.3

Multiplica $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Paso 5.5.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Paso 5.5.4.4.2

Eleva $\sqrt[3]{x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Paso 5.5.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Paso 5.5.4.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Paso 5.5.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ como $x^{2}$ .

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Paso 5.5.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Paso 5.5.4.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Paso 5.5.4.4.5.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Paso 5.5.4.4.5.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Paso 5.5.4.4.5.5

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 5.5.4.4.5.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Paso 5.5.4.4.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.4.4.5.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Paso 5.5.4.4.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Paso 5.5.4.4.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Paso 5.5.4.4.5.5.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.4.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.5.4.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.5.3

Factoriza $x^{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.5.5

Combina exponentes.

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Paso 5.5.4.5.5.1

Reescribe la expresión con el índice menos común de $12$ .

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Paso 5.5.4.5.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.5.5.1.2

Reescribe $x^{\frac{1}{3}}$ como $x^{\frac{4}{12}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.5.5.1.3

Reescribe $x^{\frac{4}{12}}$ como $\sqrt[12]{x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.5.5.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.5.4.6.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 5.5.4.6.1.1

Factoriza $x$ de $x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Paso 5.5.4.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.4.6.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Paso 5.5.4.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Paso 5.5.4.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

Paso 5.5.4.6.2

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Paso 5.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.