Cálculo Ejemplos

$(3 x^{2} + y^{2} + 4) d x + x (x - 2 y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 3 x^{2} + y^{2} + 4$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + y^{2} + 4]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + y^{2} + 4$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$

Paso 1.3

Como $3 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [4]$

Paso 1.5

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Paso 1.6

Combina los términos.

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Paso 1.6.1

Suma $0$ y $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Paso 1.6.2

Suma $2 y$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x (x - 2 y)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x - 2 y)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x - 2 y] + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Como $- 2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - 2 y) \cdot 1$

Paso 2.3.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $x - 2 y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x - 2 y$

Paso 2.3.6.2

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x - 2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 x - 2 y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 y = 2 x - 2 y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $2 x - 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x (x - 2 y)$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x (x - 2 y)$ por $N$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 y - (2 x) - (- 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x - (- 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x + 2 y}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.2.4

Suma $2 y$ y $2 y$ .

$\frac{- 2 x + 4 y}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.2.5

Factoriza $2$ de $- 2 x + 4 y$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 4 y}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.2.5.2

Factoriza $2$ de $4 y$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (2 y)}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.2.5.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $- x + 2 y$ y $x - 2 y$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $2 y$ .

$\frac{2 (- (x) - (- 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.3.4

Reescribe $- (x - 2 y)$ como $- 1 (x - 2 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.3.5

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Paso 4.3.3.6

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Paso 4.3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Paso 4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(3 x^{2} + y^{2} + 4) d x + x (x - 2 y) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $3 x^{2} + y^{2} + 4$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(3 x^{2} + y^{2} + 4) \frac{1}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $3 x^{2} + y^{2} + 4$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x (x - 2 y)$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + x (x - 2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + (x - 2 y) \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x - 2 y$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} d x + \frac{x - 2 y}{x} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x - 2 y}{x} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = \frac{x - 2 y}{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} + \frac{- 2 y}{x} d y$

Paso 8.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \int \frac{x}{x} d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Paso 8.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \int d y + \int \frac{- 2 y}{x} d y$

Paso 8.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (x, y) = \int d y + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Paso 8.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y + C + \int - \frac{2 y}{x} d y$

Paso 8.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y + C - \int \frac{2 y}{x} d y$

Paso 8.6

Dado que $\frac{2}{x}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{2}{x}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y + C - (\frac{2}{x} \int y d y)$

Paso 8.7

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} \int y d y$

Paso 8.8

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = y + C - \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 8.9

Simplifica.

$f (x, y) = y - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 8.10

Simplifica.

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Paso 8.10.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Paso 8.10.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.10.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = y - \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Paso 8.10.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = y - \frac{1}{x} y^{2} + C$

Paso 8.10.3

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.2

Diferencia.

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Paso 11.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{x}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $- y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{y^{2}}{x}$ con respecto a $x$ es $- y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$0 - y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.3.5

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y^{2} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + y^{2} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.5.2

Combina los términos.

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Paso 11.5.2.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.5.2.2

Suma $0$ y $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Resta $\frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{3 x^{2} + y^{2} + 4}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (3 x^{2} + y^{2} + 4)}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - (3 x^{2}) - y^{2} - 1 \cdot 4}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2

Simplifica.

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Paso 12.1.1.3.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 1 \cdot 4}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Combina los términos opuestos en $y^{2} - 3 x^{2} - y^{2} - 4$ .

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Paso 12.1.1.4.1

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x^{2} + 0 - 4}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.4.2

Suma $- 3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.5

Para escribir $\frac{d g}{d x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} - 3 x^{2} - 4}{x^{2}} = 0$

Paso 12.1.2

Establece el numerador igual a cero.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 12.1.3

Resuelve la ecuación en $\frac{d g}{d x}$ .

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Paso 12.1.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.3.1.1

Suma $3 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} x^{2} - 4 = 3 x^{2}$

Paso 12.1.3.1.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$

Paso 12.1.3.2

Divide cada término en $\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 12.1.3.2.1

Divide cada término en $\frac{d g}{d x} x^{2} = 3 x^{2} + 4$ por $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Paso 12.1.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.1.3.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 12.1.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Paso 12.1.3.2.2.1.2

Divide $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Paso 12.1.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.1.3.2.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 12.1.3.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}$

Paso 12.1.3.2.3.1.2

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 + \frac{4}{x^{2}}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $3 + \frac{4}{x^{2}}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 3 + \frac{4}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 + \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 + \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 13.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int 3 d x + \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 13.4

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = 3 x + C + \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Paso 13.5

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$g (x) = 3 x + C + 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 13.6

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$g (x) = 3 x + C + 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 13.7

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 13.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 3 x + C + 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 13.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$g (x) = 3 x + C + 4 \int x^{- 2} d x$

Paso 13.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$g (x) = 3 x + C + 4 (- x^{- 1} + C)$

Paso 13.9

Simplifica.

$g (x) = 3 x + 4 (- \frac{1}{x}) + C$

Paso 13.10

Simplifica.

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Paso 13.10.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$g (x) = 3 x - 4 \frac{1}{x} + C$

Paso 13.10.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = 3 x + \frac{- 4}{x} + C$

Paso 13.10.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$g (x) = 3 x - \frac{4}{x} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = y - \frac{y^{2}}{x} + 3 x - \frac{4}{x} + C$