Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{1 + e^{x}}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 1$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \frac{1}{1 + e^{x}}$

Paso 2.2

Combina $e^{x}$ y $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Paso 2.3

Reordena los factores en $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{x} y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Sea $u = 1 + e^{x}$ . Entonces $d u = e^{x} d x$ , de modo que $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1.1

Deja $u = 1 + e^{x}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 6.1.1.1

Diferencia $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Paso 6.1.1.2

Diferencia.

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Paso 6.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 6.1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 6.1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Paso 6.1.1.4

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$e^{x}$

Paso 6.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{x} y = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$e^{x} y = \ln (| u |) + C$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + e^{x}$ .

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ por $e^{x}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |) + C}{e^{x}}$