Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y + 4}{7 x + 5}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{3 y + 4}$ .

$\frac{1}{3 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y + 4} \cdot \frac{3 y + 4}{7 x + 5}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $3 y + 4$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y + 4} \cdot \frac{3 y + 4}{7 x + 5}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{7 x + 5}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{3 y + 4} d y = \frac{1}{7 x + 5} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{3 y + 4} d y = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 3 y + 4$ . Entonces $d u_{1} = 3 d y$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 3 y + 4$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $3 y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 4]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 y + 4$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [4]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$3$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 y + 4$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = 7 x + 5$ . Entonces $d u_{2} = 7 d x$ , de modo que $\frac{1}{7} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = 7 x + 5$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $7 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.1.1.3.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1.1.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 + 0$

Paso 2.3.1.1.4.2

Suma $7$ y $0$ .

$7$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{7} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 7} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Mueve $7$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{7}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{7}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 x + 5$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) = \frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |)) = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| 3 y + 4 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 y + 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{\ln (| 3 y + 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{7}$ y $\ln (| 7 x + 5 |)$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{\ln (| 7 x + 5 |)}{7} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{\ln (| 7 x + 5 |)}{7} + C \cdot \frac{7}{7})$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{\ln (| 7 x + 5 |)}{7} + \frac{C \cdot 7}{7})$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 \frac{\ln (| 7 x + 5 |) + C \cdot 7}{7}$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve $7$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 \frac{\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C}{7}$

Paso 3.2.2.1.5

Combina $3$ y $\frac{\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C}{7}$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = \frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 3 y + 4 |)} = e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| 3 y + 4 |) = \frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} = | 3 y + 4 |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 3 y + 4 | = e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$ .

$| 3 y + 4 | = e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$3 y + 4 = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$

Paso 3.5.3

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $3 y = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $3 y = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 3.5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + C)}{7}} - 4}{3}$