Cálculo Ejemplos

$t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$ por $t$ .

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d x}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 1.3

Factoriza $x$ de $\frac{2 x}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 1.4

Reordena $x$ y $\frac{2}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = \frac{2}{t}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

Paso 2.2

Integra $\frac{2}{t}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 \ln (t)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (t^{2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$t^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $t^{2}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{2}{t}$ y $x$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t (4 e^{t})$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t e^{t}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t e^{t}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t e^{t} d t$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$t^{2} x = \int 4 t e^{t} d t$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$t^{2} x = 4 \int t e^{t} d t$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Paso 7.3

La integral de $e^{t}$ con respecto a $t$ es $e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Paso 7.4

Simplifica.

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$

Paso 8

Divide cada término en $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ por $t^{2}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ por $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $t^{2}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t}) + C}{t^{2}}$

Paso 8.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{4 (t e^{t}) + 4 (- e^{t}) + C}{t^{2}}$

Paso 8.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x = \frac{4 t e^{t} - 4 e^{t} + C}{t^{2}}$