Cálculo Ejemplos

$e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x} = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d f}{d x}$

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Paso 1.1.1

Reordena los factores en $e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} + e^{x} = 1$

Paso 1.1.2

Resta $e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$

Paso 1.1.3

Divide cada término en $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ por $e^{2 x}$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Divide cada término en $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d f}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.3.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 1.1.3.3.1.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.3.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{- x}}{1}$

Paso 1.1.3.3.1.2.4

Divide $- e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d f = (\frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d f = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} d x + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1

Niega el exponente de $e^{2 x}$ y quítalo del denominador.

$f + C_{1} = \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.2.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$f + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.3

Sea $u_{1} = - 2 x$ . Entonces $d u_{1} = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.3.3.1

Deja $u_{1} = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3.3.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 2.3.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 2.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.4.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.7

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.9

Sea $u_{2} = - x$ . Entonces $d u_{2} = - d x$ , de modo que $- d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.9.1

Deja $u_{2} = - x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.9.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.9.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.9.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.9.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.11

Simplifica.

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Paso 2.3.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.11.2

Multiplica $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.12

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + e^{u_{2}} + C_{3}$

Paso 2.3.13

Simplifica.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Paso 2.3.14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.3.14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 2 x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Paso 2.3.14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$f = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + K$