Cálculo Ejemplos

$x y + \frac{d y}{d x} = 100 x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = 100 x - x y$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $100 x - x y$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $x$ de $100 x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 100 - x y$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $x$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 100 + x (- 1 y)$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 100 + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (100 - 1 y)$

Paso 1.2.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (100 - y)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{100 - y}$ .

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} (x (100 - y))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $100 - y$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $100 - y$ de $x (100 - y)$ .

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} ((100 - y) x)$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{100 - y} ((100 - y) x)$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{100 - y} \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{100 - y} d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{100 - y} d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 100 - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 100 - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int x d x$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $100 - y$ .

$- \ln (| 100 - y |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| 100 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- \ln (| 100 - y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 100 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| 100 - y |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $\ln (| 100 - y |)$ por $1$ .

$\ln (| 100 - y |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ como $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$\ln (| 100 - y |) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{C}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot C$

Paso 3.1.3.1.5

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 100 - y |)} = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 100 - y |) = - \frac{x^{2}}{2} - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} = | 100 - y |$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 100 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$ .

$| 100 - y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$100 - y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}$

Paso 3.4.3

Resta $100$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C} - 100$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

Paso 3.4.4.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1} + \frac{- 100}{- 1}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 100}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ como $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C})$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + \frac{- 100}{- 1}$

Paso 3.4.4.3.1.3

Divide $- 100$ por $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - C}) + 100$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}) + 100$

Paso 4.2

Reescribe $e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ como $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}) + 100$

Paso 4.3

Reordena $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 100$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = - (C e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + 100$