Cálculo Ejemplos

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Paso 2.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Paso 2.3.5

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.5.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Paso 2.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Paso 2.3.8

Reescribe $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ como $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Paso 3

Divide cada término en $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Divide cada término en $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Paso 3.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Paso 3.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Paso 3.3.3.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.6.1

Reescribe $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ como $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Paso 3.3.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $5$ por $y$ en $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ .

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

Paso 6

Resuelve $K$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ .

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.1.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.1.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.1.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.1.1.1.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.1.1.1.2.2

Multiplica por cero.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $e^{0}$ .

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.1.1.1.2.2.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.1.1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.1.1.1.2.4

Multiplica $0 + 4 e^{0} + K$ por $1$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.1.1.1.2.5

Suma $0$ y $4 e^{0}$ .

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.1.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1.1.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.1.1.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + K = - 2 \cdot 5$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.2.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$4 + K = - 10$

Paso 6.4

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 10 - 4$

Paso 6.4.2

Resta $4$ de $- 10$ .

$K = - 14$

Paso 7

Sustituye $- 14$ por $K$ en $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Sustituye $- 14$ por $K$ .

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $4 x e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Paso 7.2.2

Factoriza $2$ de $4 e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

Paso 7.2.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

Paso 7.2.4

Factoriza $2$ de $- 14$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

Paso 7.2.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

Paso 7.2.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

Paso 7.2.6.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

Paso 7.2.6.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

Paso 7.2.6.4

Divide $2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ por $1$ .

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Paso 7.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

Paso 7.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$