Cálculo Ejemplos

$y^{- 1} d y + y e^{\cos (x)} \sin (x) d x = 0$

Paso 1

Resta $y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{- 1} d y = - y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} y^{- 1} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y \cdot y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Paso 3.2.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Paso 3.2.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y^{1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Paso 3.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{y^{1 + 1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Paso 3.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y$ de $y e^{\cos (x)} \sin (x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Paso 3.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - (e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

$\frac{1}{y^{2}} d y = - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Paso 4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Paso 4.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Paso 4.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Paso 4.3.2

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 4.3.2.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

Paso 4.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

Paso 4.3.4

Simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

Paso 4.3.4.2

Multiplica $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} d u$

Paso 4.3.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

Paso 4.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{\cos (x)} + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 5.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 5.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Paso 5.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = e^{\cos (x)} y + K y$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Reordena los factores en $e^{\cos (x)} y + K y$ .

$- 1 = y e^{\cos (x)} + K y$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.3.1

Reescribe la ecuación como $y e^{\cos (x)} + K y = - 1$ .

$y e^{\cos (x)} + K y = - 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $y$ de $y e^{\cos (x)} + K y$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y e^{\cos (x)} + y K = - 1$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y$ de $y e^{\cos (x)} + y K$ .

$y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ por $e^{\cos (x)} + K$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ por $e^{\cos (x)} + K$ .

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $e^{\cos (x)} + K$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{e^{\cos (x)} + K}$