Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x} - \frac{2}{x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (\sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \sqrt{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

Paso 2.3.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.7

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \ln (| x |) + C$