Cálculo Ejemplos

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $a$ es constante con respecto a $x$ , mueve $a$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Entonces $d u = \frac{1}{b} d x$ , de modo que $b d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{x}{b}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Paso 2.3.2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $\frac{1}{b}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{b}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $\frac{1}{b}$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{b}$

Paso 2.3.2.1.4

Suma $0$ y $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{b}$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $b$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

Paso 2.3.3.3

Combina $\frac{1}{u^{2}}$ y $b$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $b$ es constante con respecto a $u$ , mueve $b$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Paso 2.3.5

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.5.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.5.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Reescribe $a b (- u^{- 1} + C_{2})$ como $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $a$ y $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.7.2.2

Combina $b$ y $\frac{a}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.2.1.1.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $b a \frac{b}{b + x}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.3.1

Combina $b$ y $\frac{b}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3.2

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3.3

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

Paso 3.2.2.1.1.3.6

Combina $a$ y $\frac{b^{2}}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{b + x}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

Paso 3.2.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

Paso 3.2.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

Paso 3.2.2.1.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.5.1

Combina $2$ y $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

Paso 3.2.2.1.5.2

Factoriza $- 1$ de $- a b^{2}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

Paso 3.2.2.1.5.3

Factoriza $- 1$ de $K b$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

Paso 3.2.2.1.5.4

Factoriza $- 1$ de $- (a b^{2}) - (- K b)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

Paso 3.2.2.1.5.5

Factoriza $- 1$ de $K x$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

Paso 3.2.2.1.5.6

Factoriza $- 1$ de $- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Paso 3.2.2.1.5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.2.1.5.7.1

Reescribe $- (a b^{2} - K b - K x)$ como $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Paso 3.2.2.1.5.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$