Cálculo Ejemplos

$x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} = \frac{\frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}}{x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} = \frac{\frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}}{x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}}{x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{1^{2} - 4 v^{2}}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.1.3.2.2

Reescribe $4 v^{2}$ como ${(2 v)}^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{1^{2} - {(2 v)}^{2}}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.1.3.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = 2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - (2 v))}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.1.3.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $\frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v x}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}$ .

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} (\frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v x}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $3 v$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $3 v$ de $3 v x$ .

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v (x)}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v x}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{x}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ .

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Paso 1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{x}$

Paso 1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} d v = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} d v = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $v$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} d v = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Sea $u = (1 + 2 v) (1 - 2 v)$ . Entonces $d u = - 8 v d v$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = v d v$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = (1 + 2 v) (1 - 2 v)$ . Obtén $\frac{d u}{d v}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ .

$\frac{d}{d v} [(1 + 2 v) (1 - 2 v)]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ es $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ donde $f (v) = 1 + 2 v$ y $g (v) = 1 - 2 v$ .

$(1 + 2 v) \frac{d}{d v} [1 - 2 v] + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Paso 2.2.2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.2.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 v$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

$(1 + 2 v) (\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Paso 2.2.2.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$(1 + 2 v) (0 + \frac{d}{d v} [- 2 v]) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Paso 2.2.2.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

$(1 + 2 v) \frac{d}{d v} [- 2 v] + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Paso 2.2.2.1.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 2 v$ con respecto a $v$ es $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$(1 + 2 v) (- 2 \frac{d}{d v} [v]) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Paso 2.2.2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + 2 v) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Paso 2.2.2.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1.3.6.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(1 + 2 v) \cdot - 2 + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Paso 2.2.2.1.3.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $1 + 2 v$ .

$- 2 \cdot (1 + 2 v) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Paso 2.2.2.1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 2 v$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [2 v]$ .

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) (\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [2 v])$

Paso 2.2.2.1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) (0 + \frac{d}{d v} [2 v])$

Paso 2.2.2.1.3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d v} [2 v]$ .

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [2 v]$

Paso 2.2.2.1.3.10

Como $2$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $2 v$ con respecto a $v$ es $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) (2 \frac{d}{d v} [v])$

Paso 2.2.2.1.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - 2 v$ .

$- 2 (1 + 2 v) + 2 \cdot (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [v]$

Paso 2.2.2.1.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (1 + 2 v) + 2 (1 - 2 v) \cdot 1$

Paso 2.2.2.1.3.13

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 (1 + 2 v) + 2 (1 - 2 v)$

Paso 2.2.2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 v) + 2 (1 - 2 v)$

Paso 2.2.2.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 v) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 v)$

Paso 2.2.2.1.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.2.2.1.4.3.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 - 2 (2 v) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 v)$

Paso 2.2.2.1.4.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 2 - 4 v + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 v)$

Paso 2.2.2.1.4.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 2 - 4 v + 2 + 2 (- 2 v)$

Paso 2.2.2.1.4.3.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- 2 - 4 v + 2 - 4 v$

Paso 2.2.2.1.4.3.5

Suma $- 2$ y $2$ .

$- 4 v + 0 - 4 v$

Paso 2.2.2.1.4.3.6

Suma $- 4 v$ y $0$ .

$- 4 v - 4 v$

Paso 2.2.2.1.4.3.7

Resta $4 v$ de $- 4 v$ .

$- 8 v$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{8}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$3 \int - \frac{1}{u \cdot 8} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3.3

Mueve $8$ a la izquierda de $u$ .

$3 \int - \frac{1}{8 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (- \int \frac{1}{8 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{8 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$- 3 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

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Paso 2.2.7.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{8} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{8} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{3}{8} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.9

Simplifica.

$- \frac{3}{8} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ .

$- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |) = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $v$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Expande $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 (1 - 2 v) + 2 v (1 - 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- 2 v) + 2 v (1 - 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- 2 v) + 2 v \cdot 1 + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 + 1 (- 2 v) + 2 v \cdot 1 + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.2

Multiplica $- 2 v$ por $1$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v \cdot 1 + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 \cdot - 2 v \cdot v |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.5

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.1.2.1.5.1

Mueve $v$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 \cdot - 2 (v \cdot v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.5.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 \cdot - 2 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.6

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v - 4 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Suma $- 2 v$ y $2 v$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 + 0 - 4 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 4 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.3

Combina $\ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ y $\frac{3}{8}$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.4

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.2.1.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8}{3}$ al numerador.

$\frac{- 8}{3} (- \frac{\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.4.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8}$ al numerador.

$\frac{- 8}{3} \cdot \frac{- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.4.3

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$\frac{8 (- 1)}{3} \cdot \frac{- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{8 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{3} (- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.5.1

Factoriza $3$ de $- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3$ .

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- \ln (| 1 - 4 v^{2} |))) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- \ln (| 1 - 4 v^{2} |))) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.5.3

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.6

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.6.2

Multiplica $\ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} \ln (| x |) - \frac{8}{3} C$

Paso 3.2.2.1.1.2

Combina $\ln (| x |)$ y $\frac{8}{3}$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 8}{3} - \frac{8}{3} C$

Paso 3.2.2.1.1.3

Combina $C$ y $\frac{8}{3}$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 8}{3} - \frac{C \cdot 8}{3}$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Mueve $8$ a la izquierda de $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \cdot \ln (| x |)}{3} - \frac{C \cdot 8}{3}$

Paso 3.2.2.1.2.2

Mueve $8$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} - \frac{8 C}{3}$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} - \frac{8 C}{3}$ por $3$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} - \frac{8 C}{3}$ por $3$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3 = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ .

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8 \ln (| x |)}{3}$ al numerador.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = \frac{- 8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

Paso 3.3.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = \frac{- 8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

Paso 3.3.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8 C}{3}$ al numerador.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) + \frac{- 8 C}{3} \cdot 3$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) + \frac{- 8 C}{3} \cdot 3$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) - 8 C$

Paso 3.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) + 8 \ln (| x |) = - 8 C$

Paso 3.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Simplifica $3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) + 8 \ln (| x |)$ .

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Paso 3.5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1.1.1

Simplifica $3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) + 8 \ln (| x |) = - 8 C$

Paso 3.5.1.1.2

Simplifica $8 \ln (| x |)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) + \ln ({| x |}^{8}) = - 8 C$

Paso 3.5.1.1.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{8}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) + \ln (x^{8}) = - 8 C$

Paso 3.5.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3} x^{8}) = - 8 C$

Paso 3.5.1.3

Reordena los factores en $\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3} x^{8})$ .

$\ln (x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) = - 8 C$

Paso 3.6

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3})} = e^{- 8 C}$

Paso 3.7

Reescribe $\ln (x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) = - 8 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 8 C} = x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}$

Paso 3.8

Resuelve $v$

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Paso 3.8.1

Reescribe la ecuación como $x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$ .

$x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$

Paso 3.8.2

Divide cada término en $x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$ por $x^{8}$ y simplifica.

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Paso 3.8.2.1

Divide cada término en $x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$ por $x^{8}$ .

$\frac{x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}}{x^{8}} = \frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$

Paso 3.8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{8}$ .

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Paso 3.8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}}{x^{8}} = \frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$

Paso 3.8.2.2.1.2

Divide ${| 1 - 4 v^{2} |}^{3}$ por $1$ .

${| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = \frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$

Paso 3.8.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}}$

Paso 3.8.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}}$ .

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Paso 3.8.4.1

Reescribe $\frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$ como ${(\frac{1}{x^{2}})}^{3} \frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}$ .

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Paso 3.8.4.1.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{3}$ de $e^{- 8 C}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{- 8 C}}{x^{8}}}$

Paso 3.8.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta ${(x^{2})}^{3}$ de $x^{8}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{- 8 C}}{{(x^{2})}^{3} x^{2}}}$

Paso 3.8.4.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{3} e^{- 8 C}}{{(x^{2})}^{3} x^{2}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x^{2}})}^{3} \frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}}$

Paso 3.8.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{1}{x^{2}} \sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}}$

Paso 3.8.4.3

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 3.8.4.4

Combinar.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 3.8.4.5

Multiplica $\sqrt[3]{e^{- 8 C}}$ por $1$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$

Paso 3.8.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Paso 3.8.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.8.4.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Paso 3.8.4.7.2

Mueve $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} (\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2})}$

Paso 3.8.4.7.3

Eleva $\sqrt[3]{x^{2}}$ a la potencia de $1$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} ({\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2})}$

Paso 3.8.4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Paso 3.8.4.7.5

Suma $1$ y $2$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Paso 3.8.4.7.6

Reescribe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ como $x^{2}$ .

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Paso 3.8.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Paso 3.8.4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.8.4.7.6.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $3$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Paso 3.8.4.7.6.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{6}{3}}}$

Paso 3.8.4.7.6.5

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 3.8.4.7.6.5.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Paso 3.8.4.7.6.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.4.7.6.5.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Paso 3.8.4.7.6.5.2.2

Cancela el factor común.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Paso 3.8.4.7.6.5.2.3

Reescribe la expresión.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{2}{1}}}$

Paso 3.8.4.7.6.5.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{2}}$

Paso 3.8.4.8

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.8.4.8.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2 + 2}}$

Paso 3.8.4.8.2

Suma $2$ y $2$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{4}}$

Paso 3.8.4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.4.9.1

Reescribe ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{4}}$

Paso 3.8.4.9.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.8.4.9.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{4}}$

Paso 3.8.4.9.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{4}}$

Paso 3.8.4.9.3

Factoriza $x^{3}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{4}}$

Paso 3.8.4.9.4

Retira los términos de abajo del radical.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{4}}$

Paso 3.8.4.9.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{4}}$

Paso 3.8.4.10

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.8.4.10.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.8.4.10.1.1

Factoriza $x$ de $x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{4}}$

Paso 3.8.4.10.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.4.10.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.8.4.10.1.2.2

Cancela el factor común.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x \cdot x^{3}}$

Paso 3.8.4.10.1.2.3

Reescribe la expresión.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{3}}$

Paso 3.8.4.10.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{3}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}$

Paso 3.8.5

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 - 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}$

Paso 3.8.6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} - 1$

Paso 3.8.7

Divide cada término en $- 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} - 1$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 3.8.7.1

Divide cada término en $- 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 v^{2}}{- 4} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 3.8.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.7.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 3.8.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 v^{2}}{- 4} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 3.8.7.2.1.2

Divide $v^{2}$ por $1$ .

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 3.8.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.7.3.1.1

Simplifica $\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4}$ .

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 3.8.7.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 3.8.8

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{1}{4}}$

Paso 3.8.9

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{1}{4}}$ .

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Paso 3.8.9.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}{4}}$

Paso 3.8.9.2

Reescribe $\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)$ .

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Paso 3.8.9.2.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}{4}}$

Paso 3.8.9.2.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 3.8.9.2.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$v = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}$

Paso 3.8.9.3

Retira los términos de abajo del radical.

$v = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}$

Paso 3.8.9.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x^{3}} + 1}}{2}$