Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + 3}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x + 3}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x + 3}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Sea $u = x + 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Deja $u = x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x + 3 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| x + 3 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \ln (| x + 3 |) = C$

Paso 3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x + 3 |}) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x + 3 |})} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{| x + 3 |}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| x + 3 |}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{| x + 3 |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| x + 3 |} = e^{C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| x + 3 |$ .

$\frac{| y |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $| x + 3 |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{C} | x + 3 |$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C} | x + 3 |$ .

$| y | = | x + 3 | e^{C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x + 3 | e^{C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm | x + 3 | C$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | x + 3 |$