Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ por $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ por $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{(x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 1.5

Combina $y^{3}$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.6.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Paso 1.6.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Paso 1.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Paso 1.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Paso 1.7

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Paso 1.8

Usa la potencia de la regla del cociente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{3}}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{3}}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{3}}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{3} + V^{3}}$

Paso 6.1.1.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1^{2} - 1 V + V^{2})}$

Paso 6.1.1.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.1.1.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - 1 V + V^{2})}$

Paso 6.1.1.1.3.2

Reescribe $- 1 V$ como $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$

Paso 6.1.1.2

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.2.1

Factoriza $V$ de $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ .

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Paso 6.1.1.3.3.2.1.1

Factoriza $V$ de $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.1.2

Factoriza $V$ de $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.1.3

Factoriza $V$ de $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1)}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + \frac{- ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.3.3.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.3

Expande $(- 1 - V) (1 - V + V^{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.2

Multiplica $- 1 (- V)$ .

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Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.2.2

Multiplica $V$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.3

Reescribe $- 1 V^{2}$ como $- V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.6

Multiplica $V$ por $V$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.6.1

Mueve $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.6.2

Multiplica $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.8

Multiplica $V^{2}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.9

Multiplica $V$ por $V^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.9.1

Mueve $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V)}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2

Multiplica $V^{2}$ por $V$ .

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Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V^{1})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{2 + 1}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.4.9.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.5

Combina los términos opuestos en $- 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}$ .

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Paso 6.1.1.3.3.2.5.5.1

Resta $V$ de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + 0 + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.5.2

Suma $- 1 - V^{2}$ y $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.5.3

Suma $- V^{2}$ y $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.5.4

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.6

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.5.7

Resta $V^{3}$ de $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{- V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1 \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.7

Combina exponentes.

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Paso 6.1.1.3.3.2.7.1

Factoriza el negativo.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (V \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.7.2

Combina $V$ y $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.7.3

Multiplica $V$ por $V^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.3.3.2.7.3.1

Multiplica $V$ por $V^{3}$ .

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Paso 6.1.1.3.3.2.7.3.1.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1} V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.7.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1 + 3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2.7.3.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.4

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{x (1 + V) (1 - V + V^{2})}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2

Combinar.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ al numerador.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.3.2

Factoriza $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ de $- (1 + V) (1 - V + V^{2})$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.3.3

Factoriza $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ de $(1 + V) (1 - V + V^{2}) x$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (x)}$

Paso 6.1.4.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) \cdot - 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

Paso 6.1.4.4

Cancela el factor común de $V^{4}$ .

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Paso 6.1.4.4.1

Factoriza $V^{4}$ de $V^{4} \cdot 1$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} (1)}{x}$

Paso 6.1.4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

Paso 6.1.4.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Mueve $V^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) {(V^{4})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(V^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{4 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Expande $(1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4}$ .

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Paso 6.2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (1 (1 - V + V^{2}) + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (1 (1 - V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2}) V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.10

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + V \cdot 1 V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.11

Reordena $V$ y $1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.12

Reordena $V$ y $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.13

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.14

Multiplica $V^{- 4}$ por $1$ .

$\int V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.15

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int V^{- 4} - V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.16

Factoriza el negativo.

$\int V^{- 4} - (V \cdot V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.17

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\int V^{- 4} - (V^{1} V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int V^{- 4} - V^{1 - 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.19

Resta $4$ de $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.20

Multiplica $V^{2}$ por $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2 - 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.22

Resta $4$ de $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.23

Multiplica $V$ por $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.24

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1} V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.25

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1 - 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.26

Resta $4$ de $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.27

Factoriza el negativo.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V \cdot V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.28

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.29

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V^{1}) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.30

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{1 + 1} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.31

Suma $1$ y $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.32

Factoriza el negativo.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{2} V^{- 4}) + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.33

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2 - 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.34

Resta $4$ de $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.35

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.36

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 + 2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.37

Suma $1$ y $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.38

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3 - 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.39

Resta $4$ de $3$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.40

Reordena $V^{- 4}$ y $- V^{- 3}$ .

$\int - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.41

Mueve $V^{- 4}$ .

$\int - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.42

Reordena $- V^{- 3}$ y $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.43

Reordena $V^{- 3}$ y $- V^{- 2}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.44

Mueve $V^{- 3}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.45

Reordena $- V^{- 2}$ y $V^{- 1}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.46

Mueve $V^{- 4}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.47

Mueve $- V^{- 3}$ .

$\int V^{- 2} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.48

Reordena $V^{- 2}$ y $V^{- 1}$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 2} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.49

Resta $V^{- 2}$ de $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.50

Suma $V^{- 1}$ y $0$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.51

Resta $V^{- 3}$ de $V^{- 3}$ .

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.52

Suma $V^{- 1}$ y $0$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int V^{- 1} d V + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

La integral de $V^{- 1}$ con respecto a $V$ es $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

Según la regla de la potencia, la integral de $V^{- 4}$ con respecto a $V$ es $- \frac{1}{3} V^{- 3}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{3} V^{- 3} + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Simplifica.

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Paso 6.2.2.7.1

Simplifica.

$\ln (| V |) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.7.2.1

Multiplica $\frac{1}{V^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{V^{3} \cdot 3} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $V^{3}$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{3 V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.8

Reordena los términos.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Paso 6.2.3.3

Simplifica.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 8

Resuelve $- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ en $y$ .

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Paso 8.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Paso 8.3

Multiplica $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Paso 8.3.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{y}{x}$ y $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Paso 8.4.2

Divide $y$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Paso 8.5

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 (\frac{y^{3}}{x^{3}})} + C$

Paso 8.5.2

Combina $3$ y $\frac{y^{3}}{x^{3}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{3 y^{3}}{x^{3}}} + C$

Paso 8.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{3}}{3 y^{3}}) + C$

Paso 8.5.4

Multiplica $\frac{x^{3}}{3 y^{3}}$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + C$