Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.1.3.2

Multiplica $\frac{y}{2 + 3 y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Paso 1.1.3.3

Reordena los factores en $\frac{y}{(2 + 3 y) x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 + 3 y)}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{2 + 3 y}{y}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} (\frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{y}{2 + 3 y}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $2 + 3 y$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $2 + 3 y$ de $(2 + 3 y) x$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) (x)}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Paso 1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{2 + 3 y}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2 + 3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{2}{y} + \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3.2

Divide $3$ por $1$ .

$\int \frac{2}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Aplica la regla de la constante.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$2 \ln (| y |) + 3 y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.8

Reordena los términos.

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$