Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = 5 y + 2 x^{3} - x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Resta $5 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$

Paso 1.2

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.4.2.5

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

Paso 1.5.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} - 1$

Paso 1.6

Factoriza $y$ de $\frac{- 5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 5}{x} = 2 x^{2} - 1$

Paso 1.7

Reordena $y$ y $\frac{- 5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5}{x} y = 2 x^{2} - 1$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 5}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 5}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 5}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Paso 2.2.3

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 5 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 5}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{5}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{5}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{5}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{5 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $x$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.2.1

Multiplica $x$ por $x^{5}$ .

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Paso 3.2.5.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.2.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.2.5.2.2

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = 2 \frac{1}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Paso 3.3.4

Combina $\frac{1}{x^{5}}$ y $- 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{5}}$

Paso 3.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] d x = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 7.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 7.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.3.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 7.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 7.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 7.5.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 7.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Paso 7.7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.7.1

Mueve $x^{5}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Paso 7.7.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 7.7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Paso 7.7.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 5} d x$

Paso 7.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Paso 7.9

Simplifica.

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Paso 7.9.1

Simplifica.

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Paso 7.9.1.1

Combina $x^{- 4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Paso 7.9.1.2

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Paso 7.9.2

Simplifica.

$\frac{1}{x^{5}} y = \frac{- 1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Paso 7.9.3

Simplifica.

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Paso 7.9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Paso 7.9.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + 1 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Paso 7.9.3.3

Multiplica $\frac{1}{4 x^{4}}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 8.1.1

Suma $\frac{1}{x^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Paso 8.1.2

Resta $\frac{1}{4 x^{4}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} = C$

Paso 8.1.3

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Paso 8.1.4

Combina $\frac{1}{x^{5}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{5}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Resta $\frac{1}{x^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{5}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 8.2.2

Suma $\frac{1}{4 x^{4}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{5}} - C = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}}$

Paso 8.2.3

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $x^{5}$ .

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Paso 8.4.2.1.2

Simplifica.

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Paso 8.4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$y = \frac{- 1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Paso 8.4.2.1.2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Paso 8.4.2.1.2.1.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Paso 8.4.2.1.2.1.4

Reescribe la expresión.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Paso 8.4.2.1.2.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 8.4.2.1.2.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} x^{5} + C x^{5}$

Paso 8.4.2.1.2.2.2

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

Paso 8.4.2.1.2.2.3

Cancela el factor común.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

Paso 8.4.2.1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4} x + C x^{5}$

Paso 8.4.2.1.2.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

Paso 8.4.2.1.3

Reescribe $- 1 x^{3}$ como $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

Paso 8.4.2.1.4

Mueve $\frac{x}{4}$ .

$y = - x^{3} + C x^{5} + \frac{x}{4}$

Paso 8.4.2.1.5

Reordena $- x^{3}$ y $C x^{5}$ .

$y = C x^{5} - x^{3} + \frac{x}{4}$