Cálculo Ejemplos

$\frac{d C}{d x} = \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d C = \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d C = \int \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

Paso 2.2

Reescribe.

$C = \int \frac{12}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$C = 12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{12 x + 1}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 12 x + 1$ . Entonces $d u = 12 d x$ , de modo que $\frac{1}{12} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 12 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [12 x + 1]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Paso 2.3.2.1.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 + 0$

Paso 2.3.2.1.4.2

Suma $12$ y $0$ .

$12$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$C = 12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{12} d u$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{u}}$ por $\frac{1}{12}$ .

$C = 12 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u} \cdot 12} d u$

Paso 2.3.3.2

Mueve $12$ a la izquierda de $\sqrt[3]{u}$ .

$C = 12 \int \frac{1}{12 \sqrt[3]{u}} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{12}$ fuera de la integral.

$C = 12 (\frac{1}{12} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1.1

Combina $\frac{1}{12}$ y $12$ .

$C = \frac{12}{12} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 2.3.5.1.2

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.3.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$C = \frac{12}{12} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 2.3.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$C = 1 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 2.3.5.1.3

Multiplica $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$ por $1$ .

$C = \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Paso 2.3.5.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$C = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Paso 2.3.5.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$C = \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.5.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.5.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C = \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.5.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$C = \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Paso 2.3.5.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C = \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$C = \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $12 x + 1$ .

$C = \frac{3}{2} {(12 x + 1)}^{\frac{2}{3}} + C_{1}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$C = \frac{3}{2} {(12 x + 1)}^{\frac{2}{3}} + K$