Cálculo Ejemplos

$(y^{2} + 4 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$(y^{2} + 4 y - 1) d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} + 4 y - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{2} d y + \int 4 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int 4 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.2.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) + \int - 1 d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) - y + C_{3} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C_{2}) - y + C_{3} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.2.6.2

Simplifica.

$\frac{y^{3}}{3} + 2 y^{2} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.2.6.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} y^{3} + 2 y^{2} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.2.7

Reordena los términos.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + \int 3 d x$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + 3 x + C_{7}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{5} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{6}) + 3 x + C_{7}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{8}$

Paso 2.3.6.3

Reordena los términos.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{8}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y + C_{4} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{8}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$2 y^{2} + \frac{1}{3} y^{3} - y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$