Cálculo Ejemplos

$\frac{2 d y}{d x} + y = 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $\frac{d y}{d x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + y = 3$

Paso 1.2

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.2.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ por $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{2} d y$ , de modo que $- 2 d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} - \frac{y}{2}]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Paso 2.2.1.1.2.2

Como $\frac{3}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{3}{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \frac{y}{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.1.4

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Paso 2.2.2.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d x$

Paso 2.2.2.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d x$

Paso 2.2.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d x$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.2.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 2}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{2}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{2}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- (2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Paso 2.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- 2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$- 2 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.9

Reordena los términos.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)$ por $1$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 3.1.2.2

Combina $y$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} + \frac{C}{- 2}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |)} = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} = | \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Paso 3.4.3

Resta $\frac{3}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2}$

Paso 3.4.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Paso 3.4.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.4.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.5.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Paso 3.4.5.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.5.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Paso 3.4.5.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Paso 3.4.5.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Paso 3.4.5.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Paso 3.4.5.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.4.5.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Paso 3.4.5.1.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Paso 3.4.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.5.2.1

Simplifica $- 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$ .

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Paso 3.4.5.2.1.1

Para escribir $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Paso 3.4.5.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.5.2.1.2.1

Combina $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 (\frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Paso 3.4.5.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - 2 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 3.4.5.2.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.5.2.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y = 2 (- 1) \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 3.4.5.2.1.2.3.2

Cancela el factor común.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Paso 3.4.5.2.1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$y = - ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3)$

Paso 3.4.5.2.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - 3)$

Paso 3.4.5.2.1.4

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.4.5.2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}})) - - 3$

Paso 3.4.5.2.1.4.2

Multiplica.

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Paso 3.4.5.2.1.4.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - - 3$

Paso 3.4.5.2.1.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) + 3$

Paso 3.4.6

Reordena $- \frac{x}{2}$ y $- \frac{C}{2}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{2} - \frac{x}{2}}) + 3$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = - 2 (\pm e^{C - \frac{x}{2}}) + 3$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} + C}) + 3$

Paso 4.3

Reescribe $e^{- \frac{x}{2} + C}$ como $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}) + 3$

Paso 4.4

Reordena $e^{- \frac{x}{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}) + 3$

Paso 4.5

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = - 2 (C e^{- \frac{x}{2}}) + 3$