Cálculo Ejemplos

$x y^{4} d x + (y^{2} + 2) e^{x} d y = 0$

Paso 1

Resta $x y^{4} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(y^{2} + 2) e^{x} d y = - x y^{4} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{x} y^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} y^{4}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} ((y^{2} + 2) e^{x}) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Paso 3.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $(y^{2} + 2) e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} (y^{4})} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{x} y^{4}} (e^{x} (y^{2} + 2)) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Paso 3.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{4}} (y^{2} + 2) d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{y^{4}}$ por $y^{2} + 2$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{1}{e^{x} y^{4}} (- x y^{4}) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $y^{4}$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{e^{x} y^{4}}$ al numerador.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x} y^{4}} (x y^{4}) d x$

Paso 3.4.2

Factoriza $y^{4}$ de $e^{x} y^{4}$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (x y^{4}) d x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y^{4}$ de $x y^{4}$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{y^{4} e^{x}} (y^{4} x) d x$

Paso 3.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- 1}{e^{x}} x d x$

Paso 3.5

Combina $\frac{- 1}{e^{x}}$ y $x$ .

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \frac{- x}{e^{x}} d x$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y^{2} + 2}{y^{4}} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Mueve $y^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (y^{2} + 2) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} + 2) y^{4 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int (y^{2} + 2) y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.2

Multiplica $(y^{2} + 2) y^{- 4}$ .

$\int y^{2} y^{- 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $y^{- 4}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{2 - 4} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.3.2

Resta $4$ de $2$ .

$\int y^{- 2} + 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{- 2} d y + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + \int 2 y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.6

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 \int y^{- 4} d y = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 4}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.8

Simplifica.

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Paso 4.2.8.1

Simplifica.

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Paso 4.2.8.1.1

Combina $y^{- 3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.8.1.2

Mueve $y^{- 3}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.8.2

Simplifica.

$- \frac{1}{y} + 2 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.8.3

Simplifica.

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Paso 4.2.8.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{y} - 2 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.8.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{- 2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.2.8.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Niega el exponente de $e^{x}$ y quítalo del denominador.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.2.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Paso 4.3.2.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - \int x e^{- x} d x$

Paso 4.3.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Paso 4.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Paso 4.3.5.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Paso 4.3.6

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.6.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.6.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.3.6.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.3.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.3.6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Paso 4.3.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Paso 4.3.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$

Paso 4.3.9

Reescribe $- (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{4}))$ como $- (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{4}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{4}$

Paso 4.3.11

Simplifica.

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Paso 4.3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = - (- x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

Paso 4.3.11.2

Multiplica $- (- x e^{- x})$ .

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Paso 4.3.11.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = 1 (x e^{- x}) - - e^{- x} + C_{4}$

Paso 4.3.11.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} - - e^{- x} + C_{4}$

Paso 4.3.11.3

Multiplica $- - e^{- x}$ .

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Paso 4.3.11.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + 1 e^{- x} + C_{4}$

Paso 4.3.11.3.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = x e^{- x} + e^{- x} + C_{4}$

Paso 4.3.12

Reordena los términos.

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} + C_{3} = e^{- x} x + e^{- x} + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} - \frac{2}{3 y^{3}} = e^{- x} x + e^{- x} + K$