Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = 10 t + 9 t^{2}$ , $y (1) = 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (10 t + 9 t^{2}) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 10 t + 9 t^{2} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 10 t d t + \int 9 t^{2} d t$

Paso 2.3.2

Dado que $10$ es constante con respecto a $t$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 10 \int t d t + \int 9 t^{2} d t$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 9 t^{2} d t$

Paso 2.3.4

Dado que $9$ es constante con respecto a $t$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 \int t^{2} d t$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2}) t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $10$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

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Paso 2.3.6.2.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{5}{1} t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 9 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3

Combina $9$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{9}{3} t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 2.3.6.2.4.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3} t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 5 t^{2} + \frac{3}{1} t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$y + C_{1} = 5 t^{2} + 3 t^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$y + C_{1} = 3 t^{3} + 5 t^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $t$ y de $2$ por $y$ en $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ .

$2 = 3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$ .

$3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Paso 4.2

Simplifica $3 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + 5 \cdot 1^{2} + K = 2$

Paso 4.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 + 5 \cdot 1 + K = 2$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$3 + 5 + K = 2$

Paso 4.2.2

Suma $3$ y $5$ .

$8 + K = 2$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 2 - 8$

Paso 4.3.2

Resta $8$ de $2$ .

$K = - 6$

Paso 5

Sustituye $- 6$ por $K$ en $y = 3 t^{3} + 5 t^{2} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 6$ por $K$ .

$y = 3 t^{3} + 5 t^{2} - 6$