Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$ , $y (- 3) = 7$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \cot (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \cot (x) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sin (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $- 3$ por $x$ y de $7$ por $y$ en $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ .

$7 = \ln (| \sin (- 3) |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\ln (| \sin (- 3) |) + C = 7$ .

$\ln (| \sin (- 3) |) + C = 7$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Evalúa $\sin (- 3)$ .

$\ln (| - 0.05233595 |) + C = 7$

Paso 4.2.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 0.05233595$ y $0$ es $0.05233595$ .

$\ln (0.05233595) + C = 7$

Paso 4.3

Resta $\ln (0.05233595)$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 7 - \ln (0.05233595)$

Paso 5

Sustituye $7 - \ln (0.05233595)$ por $C$ en $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $7 - \ln (0.05233595)$ por $C$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + 7 - \ln (0.05233595)$

Paso 5.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| \sin (x) |}{0.05233595}) + 7$

Paso 5.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1

Multiplica por $1$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.05233595}) + 7$

Paso 5.3.2

Factoriza $0.05233595$ de $0.05233595$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.05233595 (1)}) + 7$

Paso 5.3.3

Separa las fracciones.

$y = \ln (\frac{1}{0.05233595} \cdot \frac{| \sin (x) |}{1}) + 7$

Paso 5.3.4

Divide $1$ por $0.05233595$ .

$y = \ln (19.1073226 \frac{| \sin (x) |}{1}) + 7$

Paso 5.3.5

Divide $| \sin (x) |$ por $1$ .

$y = \ln (19.1073226 | \sin (x) |) + 7$