Cálculo Ejemplos

$(2 x + y^{3}) d x + (3 x y^{2} - e^{2 y}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y^{3}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Paso 1.3

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

Paso 1.5

Suma $0$ y $3 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 x y^{2} - e^{2 y}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} - e^{2 y}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x y^{2} - e^{2 y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- e^{2 y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{2 y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $3 y^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3 y^{2}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3 y^{2}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = 3 y^{2}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$3 y^{2} = 3 y^{2}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + y^{3} d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y^{3} d x$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y^{3} d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{3} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Paso 8.2.2

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{3} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$0 + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Paso 8.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Suma $0$ y $3 x y^{2}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $3 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$ .

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Paso 9.1.2.1

Reordena los factores en los términos $3 x y^{2}$ y $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

Paso 9.1.2.2

Resta $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - e^{2 y}$

Paso 9.1.2.3

Resta $e^{2 y}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- e^{2 y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{2 y} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{2 y} d y$

Paso 10.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int e^{2 y} d y$

Paso 10.4

Sea $u = 2 y$ . Entonces $d u = 2 d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.4.1

Deja $u = 2 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 10.4.1.1

Diferencia $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 10.4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 10.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 10.4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 10.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Paso 10.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 10.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 10.7

Elimina los paréntesis.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Paso 10.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Paso 10.9

Simplifica.

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

Paso 10.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

Paso 12

Combina $e^{2 y}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{e^{2 y}}{2} + C$