Cálculo Ejemplos

$(2 x^{2} - y e^{x}) d x - e^{x} d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x^{2} - y e^{x}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} - y e^{x}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - y e^{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Paso 1.2.2

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y e^{x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y e^{x}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y e^{x}$ con respecto a $y$ es $- e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x} \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - e^{x}$

Paso 1.4

Resta $e^{x}$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{x}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - e^{x}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{x}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- e^{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- e^{x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- e^{x} = - e^{x}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- e^{x} = - e^{x}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - e^{x} d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = - e^{x}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - e^{x} y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y + g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- e^{x} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{x} y]$ .

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Paso 8.3.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{x} y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{2} - y e^{x}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - e^{x} y = 2 x^{2} - y e^{x}$

Paso 8.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} - e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} - y e^{x} = 2 x^{2} - y e^{x}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $y e^{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - y e^{x} + y e^{x}$ .

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Paso 9.1.2.1

Suma $- y e^{x}$ y $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2} + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $2 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2 x^{2}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{2} d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{2} d x$

Paso 10.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (x) = 2 \int x^{2} d x$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Paso 10.5.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{2}{3} x^{3} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2}{3} x^{3} + C$ .

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Paso 12.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = - e^{x} y + \frac{2 x^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = - y e^{x} + \frac{2 x^{3}}{3} + C$