Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{y} = 4 y \frac{d y}{d x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Cambia los lados para obtener $\frac{d y}{d x}$ en el lado izquierdo.

$4 y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = x^{2}$

Paso 1.4

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y \cdot 4 y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$y \cdot 4 y d y = x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y \cdot 4 y d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $y$ .

$\int 4 \cdot y \cdot y d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.1.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int 4 (y^{1} y) d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.1.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\int 4 (y^{1} y^{1}) d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 4 y^{1 + 1} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int 4 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.2

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.4.1

Reescribe $4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ como $4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.2.4.2

Combina $4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{4}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3}) = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{4}{3}$ y $y^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y^{3}}{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Combinar.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.4.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $\frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{4} K$

Paso 3.2.2.1.3

Combinar.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} K$

Paso 3.2.2.1.4

Combina $\frac{3}{4}$ y $K$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Paso 3.2.2.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.5.1

Cancela el factor común.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Paso 3.2.2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$ .

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Paso 3.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$

Paso 3.4.2

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$

Paso 3.4.3

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.4.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Paso 3.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Paso 3.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

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Paso 3.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Paso 3.4.4.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Paso 3.4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Paso 3.4.5.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

Paso 3.4.5.3

Reescribe $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

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Paso 3.4.5.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Paso 3.4.5.3.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.5.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Paso 3.4.5.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.4.6.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.4.6.1.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Paso 3.4.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.6.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.4.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$

Paso 3.4.6.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + 3 K)}}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + K)}}{2}$