Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 10 x - 9$ y $y (5) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (10 x - 9) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 10 x - 9 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 10 x - 9 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 10 x d x + \int - 9 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 10 \int x d x + \int - 9 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$y + C_{1} = 5 x^{2} - 9 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 5 x^{2} - 9 x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $5$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ .

$0 = 5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$ .

$5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $5$ por $5^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $5$ por $5^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$5^{1} \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Paso 4.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5^{1 + 2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Paso 4.2.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$5^{3} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Paso 4.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$125 - 9 \cdot 5 + K = 0$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 9$ por $5$ .

$125 - 45 + K = 0$

Paso 4.2.2

Resta $45$ de $125$ .

$80 + K = 0$

Paso 4.3

Resta $80$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 80$

Paso 5

Sustituye $- 80$ por $K$ en $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 80$ por $K$ .

$y = 5 x^{2} - 9 x - 80$