Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{8 \sqrt{x}}$ , $y (25) = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Paso 2.3.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2.3.3.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 2.3.3.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $- \frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $- \frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $8$ .

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Paso 2.3.5.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $25$ por $x$ y de $0$ por $y$ en $y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = - \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{1} + K = 0$

Paso 4.2.4

Evalúa el exponente.

$- \frac{1}{4} \cdot 5 + K = 0$

Paso 4.2.5

Multiplica $- \frac{1}{4} \cdot 5$ .

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{4}) + K = 0$

Paso 4.2.5.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 5}{4} + K = 0$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{4} + K = 0$

Paso 4.3

Suma $\frac{5}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$K = \frac{5}{4}$

Paso 5

Sustituye $\frac{5}{4}$ por $K$ en $y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{5}{4}$ por $K$ .

$y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{4}$

Paso 5.2

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5}{4}$