Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $1 + y$ .

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = (1 + y) \frac{x}{1 + y}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(1 + y) \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(1 + y) d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 1 + y d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int y d y = \int x d x$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int y d y = \int x d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$y + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x$

Paso 2.2.5

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + y = \frac{x^{2}}{2} + K$

Paso 3.3

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $\frac{x^{2}}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} = K$

Paso 3.3.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} + y - \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Paso 3.4

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2

Simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} + 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{2}$ al numerador.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} + 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} + 2 y - x^{2} + 2 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y^{2} + 2 y - x^{2} - 2 K = 0$

Paso 3.4.3

Mueve $2 y$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Paso 3.4.4

Reordena $y^{2}$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} - 2 K + 2 y = 0$

Paso 3.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.6

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = - x^{2} - 2 K$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.6

Factoriza $4$ de $4 + 4 x^{2} + 8 K$ .

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Paso 3.7.1.6.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.6.2

Factoriza $4$ de $8 K$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.6.3

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.6.4

Factoriza $4$ de $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.7

Reescribe $4 (1 + x^{2} + 2 K)$ como $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)$ .

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Paso 3.7.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.7.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$

Paso 3.7.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Paso 3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K}$

$y = - 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K}$