Cálculo Ejemplos

$x (2 x^{2} + y^{2}) d x + y (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (2 x^{2} + y^{2})]$

Paso 1.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x (2 x^{2} + y^{2})$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 1.4

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 1.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

Paso 1.7

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (x^{2} + 2 y^{2})]$

Paso 2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y (x^{2} + 2 y^{2})$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Paso 2.5

Como $2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

Paso 2.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

Paso 2.6.3

Reordena los factores de $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y = 2 x y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 x y = 2 x y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (2 x^{2} + y^{2}) d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Expande $x (2 x^{2} + y^{2})$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2}) + x y^{2} d x$

Paso 5.1.2

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = \int x \cdot 2 x^{2} + x y^{2} d x$

Paso 5.1.3

Reordena $x$ y $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x \cdot x^{2} + x y^{2} d x$

Paso 5.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \int 2 (x^{1} x^{2}) + x y^{2} d x$

Paso 5.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = \int 2 x^{1 + 2} + x y^{2} d x$

Paso 5.1.6

Suma $1$ y $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} + x y^{2} d x$

Paso 5.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Paso 5.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x y^{2} d x$

Paso 5.5

Dado que $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} \int x d x$

Paso 5.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.7

Simplifica.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.8

Simplifica.

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Paso 5.8.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.8.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.8.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 5.8.3

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Paso 5.8.4

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Paso 5.9

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.2.2

Como $\frac{1}{2} x^{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.3.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.3.5

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.3.6

Combina $\frac{2 x^{2}}{2}$ y $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.7.1

Cancela el factor común.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.3.7.2

Divide $x^{2} y$ por $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Suma $0$ y $x^{2} y$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1.1

Simplifica $y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Paso 9.1.1.1

Reescribe.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = 0 + 0 + y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 9.1.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 9.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + y (2 y^{2})$

Paso 9.1.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}$

Paso 9.1.1.5

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.1.1.5.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y)$

Paso 9.1.1.5.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 9.1.1.5.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})$

Paso 9.1.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{2 + 1}$

Paso 9.1.1.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{3}$

Paso 9.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.2.1

Resta $x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$

Paso 9.1.2.2

Combina los términos opuestos en $y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$ .

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Paso 9.1.2.2.1

Reordena los factores en los términos $y x^{2}$ y $- x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 y^{3} - x^{2} y$

Paso 9.1.2.2.2

Resta $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} + 0$

Paso 9.1.2.2.3

Suma $2 y^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2 y^{3}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y^{3} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y^{3} d y$

Paso 10.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (y) = 2 \int y^{3} d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ como $2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{2}{4} y^{4} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 (1)}{4} y^{4} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Paso 10.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Paso 10.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{4} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Paso 12.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Paso 12.3

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Paso 12.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$