Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + x e^{x} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $x e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{x}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = - x e^{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - x e^{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - x e^{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Paso 2.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Paso 2.3.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - (x e^{x} - e^{x}) + K$