Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = e^{4 x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{3} d y = e^{4 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{3} d y = \int e^{4 x} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{4 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Paso 2.3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{4 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{4} e^{4 x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{e^{4 x}}{4} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{4} = e^{4 x} + 4 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$