Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 - 3 y$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 - 3 y}$ .

$\frac{1}{2 - 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 3 y} (2 - 3 y)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $2 - 3 y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 - 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 3 y} (2 - 3 y)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 - 3 y} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{2 - 3 y} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{2 - 3 y} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 2 - 3 y$ . Entonces $d u = - 3 d y$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 2 - 3 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 - 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 - 3 y]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 3 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Paso 2.2.1.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 3 y$ con respecto a $y$ es $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$0 - 3$

Paso 2.2.1.1.4

Resta $3$ de $0$ .

$- 3$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Paso 2.2.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - 3 y$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |) = x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |)) = - 3 (x + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 2 - 3 y |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\ln (| 2 - 3 y |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 2 - 3 y |)}{3}) = - 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 2 - 3 y |)}{3}$ al numerador.

$- 3 \frac{- \ln (| 2 - 3 y |)}{3} = - 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 2 - 3 y |)}{3} = - 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 2 - 3 y |)}{3} = - 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| 2 - 3 y |) = - 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 2 - 3 y |) = - 3 (x + C)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $\ln (| 2 - 3 y |)$ por $1$ .

$\ln (| 2 - 3 y |) = - 3 (x + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 2 - 3 y |) = - 3 x - 3 C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 2 - 3 y |)} = e^{- 3 x - 3 C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| 2 - 3 y |) = - 3 x - 3 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x - 3 C} = | 2 - 3 y |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 2 - 3 y | = e^{- 3 x - 3 C}$ .

$| 2 - 3 y | = e^{- 3 x - 3 C}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 - 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C}$

Paso 3.5.3

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C} - 2$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $- 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C} - 2$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $- 3 y = \pm e^{- 3 x - 3 C} - 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3} + \frac{- 2}{- 3}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.3.1.1

Simplifica $\frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{- 3}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{3} + \frac{- 2}{- 3}$

Paso 3.5.4.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C}}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 3.5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\pm e^{- 3 x - 3 C} + 2}{3}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\pm e^{- 3 x + C} + 2}{3}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{- 3 x + C}$ como $e^{- 3 x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{- 3 x} e^{C} + 2}{3}$

Paso 4.3

Reordena $e^{- 3 x}$ y $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{- 3 x} + 2}{3}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \frac{C e^{- 3 x} + 2}{3}$