Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , $y (0) = 2$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = x^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $2$ por $y$ en $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ .

$2 = \sqrt[3]{0^{3} + K}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$ .

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$

Paso 6.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{0^{3} + K}}^{3} = 2^{3}$

Paso 6.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{0^{3} + K}$ como ${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(0^{3} + K)}^{1} = 2^{3}$

Paso 6.3.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Paso 6.3.2.1.3

Suma $0$ y $K$ .

$K^{1} = 2^{3}$

Paso 6.3.2.1.4

Simplifica.

$K = 2^{3}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$K = 8$

Paso 7

Sustituye $8$ por $K$ en $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $8$ por $K$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 8}$

Paso 7.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 2^{3}}$

Paso 7.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

Paso 7.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$