Cálculo Ejemplos

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Sea $v = \frac{d y}{d x}$ . Luego $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sustituye $v$ por $\frac{d y}{d x}$ y $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obtener una ecuación diferencial con variable dependiente $v$ y variable independiente $x$ .

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Resuelve $\frac{d v}{d x}$

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Paso 2.1.1

Resta $v$ de ambos lados de la ecuación.

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

Paso 2.1.2

Divide cada término en $4 \frac{d v}{d x} = - v$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Divide cada término en $4 \frac{d v}{d x} = - v$ por $4$ .

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Paso 2.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 2.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{v}$ al numerador.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Paso 2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

Paso 2.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

Paso 3.2

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

Paso 3.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

Paso 4

Resuelve $v$

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Paso 4.1

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Paso 4.2

Reescribe $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

Paso 4.3

Resuelve $v$

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Paso 4.3.2

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Paso 4.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Paso 5

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.1

Reescribe $e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ como $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

Paso 5.2

Reordena $e^{- \frac{x}{4}}$ y $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

Paso 5.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Paso 7

Reescribe la ecuación.

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Paso 8

Integra ambos lados.

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Paso 8.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Paso 8.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Paso 8.3

Integra el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Dado que $C_{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $C_{4}$ fuera de la integral.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

Paso 8.3.2

Sea $u = - \frac{x}{4}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{4} d x$ , de modo que $- 4 d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.3.2.1

Deja $u = - \frac{x}{4}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Diferencia $- \frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

Paso 8.3.2.1.2

Como $- \frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 8.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 8.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

Paso 8.3.3

Simplifica.

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Paso 8.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Paso 8.3.3.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Paso 8.3.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

Paso 8.3.3.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

Paso 8.3.4

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

Paso 8.3.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

Paso 8.3.6

Simplifica.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

Paso 8.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

Paso 8.3.8

Reordena los términos.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

Paso 8.3.9

Reordena los términos.

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

Paso 8.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$