Cálculo Ejemplos

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x]$

Paso 1.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2} y + 4 y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 4 y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y + 4 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

Paso 2.4

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $2 y x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

Paso 2.5.2

Reordena los factores de $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2 x y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$0 = 2 x y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $2 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x^{2} y + 4 y$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x^{2} y + 4 y$ por $N$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{x^{2} y + 4 y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0 - 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Paso 4.3.2.2

Resta $2 x y$ de $0$ .

$\frac{- 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Paso 4.3.3

Factoriza $y$ de $x^{2} y + 4 y$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + 4 y}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $y$ de $4 y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + y \cdot 4}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $y$ de $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 4}$

Paso 4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x}$

Paso 5.4

Sea $u = x^{2} + 4$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.4.1

Deja $u = x^{2} + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.4.1.1

Diferencia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 5.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 5.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 5.4.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 5.4.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 5.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Paso 5.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Paso 5.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 5.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Paso 5.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Paso 5.9

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Paso 5.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 4 |)} + C$

Paso 5.11

Simplifica cada término.

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Paso 5.11.1

Simplifica $- \ln (| x^{2} + 4 |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{- 1})} + C$

Paso 5.11.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 4 |}^{- 1} + C$

Paso 5.11.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 4 |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x$ por $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$x \frac{1}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x^{2} y + 4 y$ por $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) \frac{1}{x^{2} + 4} d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $x^{2} y + 4 y$ por $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{x^{2} y + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Paso 6.5

Factoriza $y$ de $x^{2} y + 4 y$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Paso 6.5.2

Factoriza $y$ de $4 y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + y \cdot 4}{x^{2} + 4} d y = 0$

Paso 6.5.3

Factoriza $y$ de $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $x^{2} + 4$ .

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Paso 6.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Paso 6.6.2

Divide $y$ por $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + y d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Paso 11.3

Como $\frac{1}{2} y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Paso 11.5

Suma $0$ y $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Paso 12

Obtén la antiderivada de $\frac{x}{x^{2} + 4}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 12.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Paso 12.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Paso 12.3

Sea $u = x^{2} + 4$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 12.3.1

Deja $u = x^{2} + 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 12.3.1.1

Diferencia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Paso 12.3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 12.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 12.3.1.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 12.3.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 12.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 12.4

Simplifica.

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Paso 12.4.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 12.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Paso 12.4.3

Multiplica $2$ por $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 12.5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$g (x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 12.6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Paso 12.7

Simplifica.

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Paso 12.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 4$ .

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Paso 13

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Paso 14

Simplifica $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$ .

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Paso 14.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 14.2

Para escribir $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 14.3

Combina $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Paso 14.5

Simplifica el numerador.

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Paso 14.5.1

Multiplica $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Paso 14.5.1.1

Reordena $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ y $2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Paso 14.5.1.2

Simplifica $2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Paso 14.5.2

Multiplica los exponentes en ${({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 14.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Paso 14.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Paso 14.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{1})}{2} + C$

Paso 14.5.3

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$