Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 12 x y^{4} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $12 x y^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = - 12 x y^{4}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} (- 12 x y^{4})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = - 12 \frac{1}{y^{4}} (x y^{4})$

Paso 1.3.2

Combina $- 12$ y $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{y^{4}} (x y^{4})$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y^{4}$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $y^{4}$ de $x y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{y^{4}} (y^{4} x)$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{y^{4}} (y^{4} x)$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = - 12 x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{4}} d y = - 12 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int - 12 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{4}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - 12 x d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int - 12 x d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int - 12 x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 4}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int - 12 x d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int - 12 x d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{y^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int - 12 x d x$

Paso 2.2.3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int - 12 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 12$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = - 12 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = - 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $- 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- 12 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = - 12 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $- 12$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{- 12}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 6}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{- 6}{1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $- 6$ por $1$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = - 6 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = - 6 x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 y^{3}, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$3 y^{3}$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{3 y^{3}} = - 6 x^{2} + K$ por $3 y^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{3 y^{3}} = - 6 x^{2} + K$ por $3 y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = - 6 x^{2} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $3 y^{3}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3 y^{3}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = - 6 x^{2} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = - 6 x^{2} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - 6 x^{2} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = - 6 \cdot 3 x^{2} y^{3} + K (3 y^{3})$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$- 1 = - 18 x^{2} y^{3} + K (3 y^{3})$

Paso 3.2.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = - 18 x^{2} y^{3} + 3 K y^{3}$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 18 x^{2} y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$ .

$- 18 x^{2} y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $3 y^{3}$ de $- 18 x^{2} y^{3} + 3 K y^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $3 y^{3}$ de $- 18 x^{2} y^{3}$ .

$3 y^{3} (- 6 x^{2}) + 3 K y^{3} = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $3 y^{3}$ de $3 K y^{3}$ .

$3 y^{3} (- 6 x^{2}) + 3 y^{3} K = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $3 y^{3}$ de $3 y^{3} (- 6 x^{2}) + 3 y^{3} K$ .

$3 y^{3} (- 6 x^{2} + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $3 y^{3} (- 6 x^{2} + K) = - 1$ por $3 (- 6 x^{2} + K)$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $3 y^{3} (- 6 x^{2} + K) = - 1$ por $3 (- 6 x^{2} + K)$ .

$\frac{3 y^{3} (- 6 x^{2} + K)}{3 (- 6 x^{2} + K)} = \frac{- 1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{3} (- 6 x^{2} + K)}{3 (- 6 x^{2} + K)} = \frac{- 1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3} (- 6 x^{2} + K)}{- 6 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Paso 3.3.3.2.2

Cancela el factor común de $- 6 x^{2} + K$ .

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Paso 3.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} (- 6 x^{2} + K)}{- 6 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Paso 3.3.3.2.2.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Paso 3.3.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 6 x^{2}$ .

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- (6 x^{2}) + K)}$

Paso 3.3.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $K$ .

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- (6 x^{2}) - 1 (- K))}$

Paso 3.3.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (6 x^{2}) - 1 (- K)$ .

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- (6 x^{2} - K))}$

Paso 3.3.3.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.3.5.1

Reescribe $- (6 x^{2} - K)$ como $- 1 (6 x^{2} - K)$ .

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- 1 (6 x^{2} - K))}$

Paso 3.3.3.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{3} = - - \frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}$

Paso 3.3.3.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{3} = 1 \frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}$

Paso 3.3.3.3.5.4

Multiplica $\frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}$

Paso 3.3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}}$

Paso 3.3.5

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}}$ .

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Paso 3.3.5.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}$

Paso 3.3.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}$

Paso 3.3.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}$

Paso 3.3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)} {\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}$

Paso 3.3.5.4.2

Eleva $\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{1} {\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}$

Paso 3.3.5.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{1 + 2}}$

Paso 3.3.5.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{3}}$

Paso 3.3.5.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{3}$ como $3 (6 x^{2} - K)$ .

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Paso 3.3.5.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}$ como ${(3 (6 x^{2} - K))}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{({(3 (6 x^{2} - K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.3.5.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{(3 (6 x^{2} - K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.3.5.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{(3 (6 x^{2} - K))}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.3.5.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.5.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{(3 (6 x^{2} - K))}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.3.5.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{(3 (6 x^{2} - K))}^{1}}$

Paso 3.3.5.4.5.5

Simplifica.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{3 (6 x^{2} - K)}$

Paso 3.3.5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.5.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(3 (6 x^{2} - K))}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{{(3 (6 x^{2} - K))}^{2}}}{3 (6 x^{2} - K)}$

Paso 3.3.5.5.2

Aplica la regla del producto a $3 (6 x^{2} - K)$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3^{2} {(6 x^{2} - K)}^{2}}}{3 (6 x^{2} - K)}$

Paso 3.3.5.5.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 {(6 x^{2} - K)}^{2}}}{3 (6 x^{2} - K)}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 {(6 x^{2} + K)}^{2}}}{3 (6 x^{2} + K)}$