Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + y)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 + y)}{x}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} (1 + y)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} (\frac{1 + x}{x} (1 + y))$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $1 + y$ de $\frac{1 + x}{x} (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{1 + x}{x})$

Paso 1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 1 + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 1 + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = x + \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| x |) = x + C$

Paso 3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |})} = e^{x + C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| 1 + y |}{| x |}) = x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{| 1 + y |}{| x |}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} = e^{x + C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| x |$ .

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 + y |}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| 1 + y | = e^{x + C} | x |$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

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Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{x + C} | x |$ .

$| 1 + y | = | x | e^{x + C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm | x | e^{x + C}$

Paso 3.5.4.3

Reordena los factores en $\pm | x | e^{x + C}$ .

$1 + y = \pm e^{x + C} | x |$

Paso 3.5.4.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{x + C} | x | - 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x} e^{C} | x | - 1$

Paso 4.2

Reordena $e^{x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x} | x | - 1$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{x} | x | - 1$