Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x - 6}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{4}{x - 6} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{4}{x - 6} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{x - 6} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x - 6} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x - 6$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x - 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 6$ .

$y + C_{1} = 4 \ln (| x - 6 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$