Cálculo Ejemplos

$(2 x y^{3} + 1) d x + (3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + 1]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y^{3} + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y^{3}$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $6 x y^{2}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2}$

Paso 1.5.2

Reordena los factores de $6 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}]$

Paso 2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $3 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} y^{2}$ con respecto a $x$ es $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.5.1

Como $- \frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 0$

Paso 2.5.2

Suma $6 y^{2} x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $6 y^{2} x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $6 y^{2} x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} + 1 d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} d x + \int d x$

Paso 5.2

Dado que $2 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 y^{3}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 y^{3} \int x d x + \int d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2} + x + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} x^{2} + x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{3} x^{2}$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Paso 8.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Paso 8.4

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Suma $3 x^{2} y^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Paso 8.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$

Paso 9.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.2.1

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$

Paso 9.1.2.2

Combina los términos opuestos en $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Paso 9.1.2.2.1

Resta $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y} + 0$

Paso 9.1.2.2.2

Suma $- \frac{1}{y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- \frac{1}{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

Paso 10.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

Paso 10.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

Paso 10.5

Simplifica.

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x - \ln (| y |) + C$