Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x \cos (8 x^{2})$ , $y (0) = 8$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = x \cos (8 x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x \cos (8 x^{2}) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 8 x^{2}$ . Entonces $d u = 16 x d x$ , de modo que $\frac{1}{16} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 8 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int \cos (u) \frac{1}{16} d u$

Paso 2.3.2

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\cos (u)}{16} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{16}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{16}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

Paso 2.3.4

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} (\sin (u) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (u) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $8 x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $8$ por $y$ en $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ .

$8 = \frac{1}{16} \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K = 8$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0^{2}) + K$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (8 \cdot 0) + K = 8$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot \sin (0) + K = 8$

Paso 4.2.1.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{16} \cdot 0 + K = 8$

Paso 4.2.1.1.4

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $0$ .

$0 + K = 8$

Paso 4.2.1.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 8$

Paso 5

Sustituye $8$ por $K$ en $y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $8$ por $K$ .

$y = \frac{1}{16} \sin (8 x^{2}) + 8$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{16}$ y $\sin (8 x^{2})$ .

$y = \frac{\sin (8 x^{2})}{16} + 8$