Cálculo Ejemplos

$(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{4} + 2 y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} + 2 y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{4} + 2 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + 2$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y^{3}$ con respecto a $x$ es $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.4

Como $2 y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{4}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4 \cdot 1$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} + 0 - 4$

Paso 2.6

Suma $y^{3}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{3} - 4$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $4 y^{3} + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $y^{3} - 4$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$4 y^{3} + 2 = y^{3} - 4$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $y^{3} - 4$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y^{3} - 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $4 y^{3} + 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y^{4} + 2 y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y^{4} + 2 y$ por $M$ .

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3} + 2)}{y^{4} + 2 y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{3} - 4 - (4 y^{3}) - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 1 \cdot 2}{y^{4} + 2 y}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{3} - 4 - 4 y^{3} - 2}{y^{4} + 2 y}$

Paso 4.3.2.4

Resta $4 y^{3}$ de $y^{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 4 - 2}{y^{4} + 2 y}$

Paso 4.3.2.5

Resta $2$ de $- 4$ .

$\frac{- 3 y^{3} - 6}{y^{4} + 2 y}$

Paso 4.3.2.6

Factoriza $3$ de $- 3 y^{3} - 6$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Factoriza $3$ de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3}) - 6}{y^{4} + 2 y}$

Paso 4.3.2.6.2

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\frac{3 (- y^{3}) + 3 (- 2)}{y^{4} + 2 y}$

Paso 4.3.2.6.3

Factoriza $3$ de $3 (- y^{3}) + 3 (- 2)$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y^{4} + 2 y}$

Paso 4.3.3

Factoriza $y$ de $y^{4} + 2 y$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $y$ de $y^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + 2 y}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{3 (- y^{3} - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $- y^{3} - 2$ y $y^{3} + 2$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $- 1$ de $- y^{3}$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 2)}{y (y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3}) - 1 (2))}{y (y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (y^{3}) - 1 (2)$ .

$\frac{3 (- (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.4.4

Reescribe $- (y^{3} + 2)$ como $- 1 (y^{3} + 2)$ .

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.4.5

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- 1 (y^{3} + 2))}{y (y^{3} + 2)}$

Paso 4.3.4.6

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Paso 4.3.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Paso 4.3.6

Sustituye $y^{4} + 2 y$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 3 \ln (| y |)$ al mover $- 3$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Paso 5.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(y^{4} + 2 y) d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y^{4} + 2 y$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{4} + 2 y) \frac{1}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $y^{4} + 2 y$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{4} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $y$ de $y^{4} + 2 y$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $y$ de $y^{4}$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + 2 y}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + y \cdot 2}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y^{3} + y \cdot 2$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y^{3}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Paso 6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.1

Factoriza $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (y^{3} + 2)}{y \cdot y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + (x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x + \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{y^{3} + 2}{y^{2}} x + C$

Paso 8.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.2.1

Combina $\frac{y^{3} + 2}{y^{2}}$ y $x$ .

$f (x, y) = \frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$

Paso 8.2.2

Reescribe $\frac{(y^{3} + 2) x}{y^{2}} + C$ como $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}}]$ .

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Paso 11.3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = y^{3} x + 2 x$ y $g (y) = y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d}{d y} [y^{3} x + 2 x] - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} x + 2 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]$ .

$\frac{y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.3

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{3} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{y^{2} (x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [2 x]) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.5

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y^{2} (x (3 y^{2}) + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.7

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{y^{2} (3 \cdot x y^{2} + 0) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.8

Suma $3 x y^{2}$ y $0$ .

$\frac{y^{2} (3 x y^{2}) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.9

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.9.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} y^{2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{2 + 2} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.9.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{y^{4} (3 x) - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.10

Mueve $3$ a la izquierda de $y^{4}$ .

$\frac{3 \cdot y^{4} x - (y^{3} x + 2 x) (2 y)}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.11

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{{(y^{2})}^{2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.12

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 11.3.12.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.12.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.13

Factoriza $y$ de $3 y^{4} x - 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

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Paso 11.3.13.1

Factoriza $y$ de $3 y^{4} x$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) - 2 (y^{3} x + 2 x) y}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.13.2

Factoriza $y$ de $- 2 (y^{3} x + 2 x) y$ .

$\frac{y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.13.3

Factoriza $y$ de $y (3 y^{3} x) + y (- 2 (y^{3} x + 2 x))$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y^{4}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.14.1

Factoriza $y$ de $y^{4}$ .

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x))}{y \cdot y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.3.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x + 2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y^{3} x - 2 (y^{3} x) - 2 (2 x)}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.5.2

Combina los términos.

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Paso 11.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{3 y^{3} x - 2 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.5.2.2

Resta $2 y^{3} x$ de $3 y^{3} x$ .

$\frac{1 y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.5.2.3

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.5.2.4

Para escribir $\frac{d g}{d y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} x - 4 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.5.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{3} x - 4 x + \frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x}{y^{3}} = \frac{x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x}{y^{3}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1.1

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$y^{3} x + y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x$

Paso 12.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.2.1

Resta $y^{3} x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} \frac{d g}{d y} - 4 x = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x$

Paso 12.1.2.2

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{3} \frac{d g}{d y} = x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Paso 12.1.2.3

Combina los términos opuestos en $x y^{3} + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$ .

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Paso 12.1.2.3.1

Reordena los factores en los términos $x y^{3}$ y $- y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = y^{3} x + 2 y^{4} - 4 x - y^{3} x + 4 x$

Paso 12.1.2.3.2

Resta $y^{3} x$ de $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 0 + 4 x$

Paso 12.1.2.3.3

Suma $2 y^{4} - 4 x$ y $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} - 4 x + 4 x$

Paso 12.1.2.3.4

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4} + 0$

Paso 12.1.2.3.5

Suma $2 y^{4}$ y $0$ .

$y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$

Paso 12.1.3

Divide cada término en $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ por $y^{3}$ y simplifica.

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Paso 12.1.3.1

Divide cada término en $y^{3} \frac{d g}{d y} = 2 y^{4}$ por $y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Paso 12.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.1.3.2.1

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 12.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{3} \frac{d g}{d y}}{y^{3}} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Paso 12.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d g}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y^{4}}{y^{3}}$

Paso 12.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.1.3.3.1

Cancela el factor común de $y^{4}$ y $y^{3}$ .

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Paso 12.1.3.3.1.1

Factoriza $y^{3}$ de $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3}}$

Paso 12.1.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1.3.3.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Paso 12.1.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y^{3} (2 y)}{y^{3} \cdot 1}$

Paso 12.1.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y}{1}$

Paso 12.1.3.3.1.2.4

Divide $2 y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $2 y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y d y$

Paso 13.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (y) = 2 \int y d y$

Paso 13.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 13.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.5.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 13.5.2

Simplifica.

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Paso 13.5.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$g (y) = 1 y^{2} + C$

Paso 13.5.2.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$g (y) = y^{2} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = \frac{y^{3} x + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$ .

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Paso 15.1

Factoriza $x$ de $y^{3} x + 2 x$ .

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Paso 15.1.1

Factoriza $x$ de $y^{3} x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x}{y^{2}} + y^{2} + C$

Paso 15.1.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2}{y^{2}} + y^{2} + C$

Paso 15.1.3

Factoriza $x$ de $x y^{3} + x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + y^{2} + C$

Paso 15.2

Para escribir $y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2)}{y^{2}} + \frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Paso 15.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{x (y^{3} + 2) + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Paso 15.4

Simplifica el numerador.

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Paso 15.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + x \cdot 2 + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Paso 15.4.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 \cdot x + y^{2} y^{2}}{y^{2}} + C$

Paso 15.4.3

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 15.4.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{2 + 2}}{y^{2}} + C$

Paso 15.4.3.2

Suma $2$ y $2$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{3} + 2 x + y^{4}}{y^{2}} + C$