Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y \sin (x)$ donde $f (2 π) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $y \sin (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sin (x)))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sin (x))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \sin (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin (x) d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - \cos (x) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \cos (x) + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = - \cos (x) + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \cos (x) + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- \cos (x) + C}$ .

$| y | = e^{- \cos (x) + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \cos (x) + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- \cos (x) + C}$ como $e^{- \cos (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \cos (x)} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- \cos (x)}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \cos (x)}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- \cos (x)}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $2 π$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = C e^{- \cos (x)}$ .

$1 = C e^{- \cos (2 π)}$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C e^{- \cos (2 π)} = 1$ .

$C e^{- \cos (2 π)} = 1$

Paso 6.2

Simplifica.

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Paso 6.2.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$C e^{- \cos (0)} = 1$

Paso 6.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$C e^{- 1 \cdot 1} = 1$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$C e^{- 1} = 1$

Paso 6.3

Divide cada término en $C e^{- 1} = 1$ por $e^{- 1}$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $C e^{- 1} = 1$ por $e^{- 1}$ .

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 1}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{C e^{- 1}}{e^{- 1}} = \frac{1}{e^{- 1}}$

Paso 6.3.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- 1}}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Mueve $e^{- 1}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e$

Paso 7

Sustituye $e$ por $C$ en $y = C e^{- \cos (x)}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $e$ por $C$ .

$y = e e^{- \cos (x)}$

Paso 7.2

Multiplica $e$ por $e^{- \cos (x)}$ .

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Paso 7.2.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$y = e^{1} e^{- \cos (x)}$

Paso 7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = e^{1 - \cos (x)}$