Cálculo Ejemplos

$\frac{d f}{d x} = - 5 x^{2} - 5 e^{x}$ , $f (0) = - 16$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d f = (- 5 x^{2} - 5 e^{x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d f = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} - 5 e^{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f + C_{1} = \int - 5 x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = - 5 \int x^{2} d x + \int - 5 e^{x} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 e^{x} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int e^{x} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (e^{x} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$f + C_{1} = - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{- 5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f + C_{1} = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $- 16$ por $f$ en $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ .

$- 16 = - \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K = - 16$

Paso 4.2

Simplifica $- \frac{5}{3} \cdot 0^{3} - 5 e^{0} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{5}{3} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- \frac{5}{3} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 (\frac{5}{3}) - 5 e^{0} + K = - 16$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{5}{3}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 16$

Paso 4.2.1.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 16$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$0 - 5 + K = - 16$

Paso 4.2.2

Resta $5$ de $0$ .

$- 5 + K = - 16$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$K = - 16 + 5$

Paso 4.3.2

Suma $- 16$ y $5$ .

$K = - 11$

Paso 5

Sustituye $- 11$ por $K$ en $f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 11$ por $K$ .

$f = - \frac{5}{3} x^{3} - 5 e^{x} - 11$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{5}{3}$ .

$f = - \frac{x^{3} \cdot 5}{3} - 5 e^{x} - 11$

Paso 5.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f = - \frac{5 x^{3}}{3} - 5 e^{x} - 11$