Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + 2$

Paso 1

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + 2$

Paso 2

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 3

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 4

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + 2$

Paso 5

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 5.1

Separa las variables.

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Paso 5.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 5.1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V + 2 - V$

Paso 5.1.1.1.2

Combina los términos opuestos en $V + 2 - V$ .

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Paso 5.1.1.1.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + 2$

Paso 5.1.1.1.2.2

Suma $0$ y $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = 2$

Paso 5.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = 2$ por $x$ y simplifica.

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Paso 5.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = 2$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Paso 5.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{2}{x}$

Paso 5.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{2}{x}$

Paso 5.1.2

Reescribe la ecuación.

$d V = \frac{2}{x} d x$

Paso 5.2

Integra ambos lados.

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Paso 5.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d V = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 5.2.2

Aplica la regla de la constante.

$V + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 5.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$V + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 5.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$V + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 5.2.3.3

Simplifica.

$V + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 5.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$V = 2 \ln (| x |) + C$

Paso 6

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

Paso 7

Resuelve $\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$ en $y$ .

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Paso 7.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (2 \ln (| x |) + C) x$

Paso 7.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (2 \ln (| x |) + C) x$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Simplifica $(2 \ln (| x |) + C) x$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y = (\ln ({| x |}^{2}) + C) x$

Paso 7.2.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

Paso 7.2.2.1.2

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 7.2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

Paso 7.2.2.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.1.2.2.1

Reordena los factores en $\ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

Paso 7.2.2.1.2.2.2

Reordena $x \ln (x^{2})$ y $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2})$