Cálculo Ejemplos

$(2 x + x^{3} + 3 y) d x + (3 x + 2 y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x + x^{3} + 3 y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x^{3} + 3 y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + x^{3} + 3 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Paso 1.2.2

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y]$

Paso 1.2.3

Como $x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [3 y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3 \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 3$

Paso 1.4

Combina los términos.

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Paso 1.4.1

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3$

Paso 1.4.2

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 3 x + 2 y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x + 2 y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Paso 2.4.2

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 = 3$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$3 = 3$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x + 2 y d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = 3 x + 2 y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 3 x d y + \int 2 y d y$

Paso 5.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 3 x y + C + \int 2 y d y$

Paso 5.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 \int y d y$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 5.5

Simplifica.

$f (x, y) = 3 x y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 5.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común.

$f (x, y) = 3 x y + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Paso 5.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = 3 x y + 1 y^{2} + C$

Paso 5.6.3

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} + g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x y + y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Paso 8.3.1

Como $3 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x y$ con respecto a $x$ es $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Paso 8.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Paso 8.4

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + x^{3} + 3 y$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Suma $3 y$ y $0$ .

$3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y$

Paso 8.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 3 y = 2 x + x^{3} + 3 y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $2 x + x^{3} + 3 y - 3 y$ .

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Paso 9.1.2.1

Resta $3 y$ de $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3} + 0$

Paso 9.1.2.2

Suma $2 x + x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $2 x + x^{3}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x + x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + x^{3} d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + x^{3} d x$

Paso 10.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int 2 x d x + \int x^{3} d x$

Paso 10.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$g (x) = 2 \int x d x + \int x^{3} d x$

Paso 10.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int x^{3} d x$

Paso 10.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 10.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 10.8

Simplifica.

$g (x) = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = 3 x y + y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Paso 12

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = 3 x y + y^{2} + x^{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$